Cuando una función no es continua en un punto de su dominio, dicho punto se denomina punto de discontinuidad. Según las características de existencia de límites, los puntos de discontinuidad se clasifican generalmente en los siguientes dos tipos y cuatro subtipos:

Discontinuidades de primera especie

Las discontinuidades de primera especie son puntos donde los límites laterales existen pero no se cumple la condición de continuidad, e incluyen las discontinuidades evitables y las discontinuidades de salto.

• Discontinuidad evitable
  Condición de determinación:

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L \neq f(x_0) \quad\text{o } f(x_0)\text{ no está definido}$$

  Método de reparación:
  Redefiniendo $f(x_0)=L$, la función se vuelve continua en $x_0$.
  Ejemplo típico:

  $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\\\ 0, & x = 0 \end{cases}$$

  
  En $x=0$:

  $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad\text{pero } f(0) = 0$$

  Por lo tanto, $x=0$ es una discontinuidad evitable.

• Discontinuidad de salto
  Condición de determinación:

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1 \quad\text{y}\quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2 \quad\text{pero } L_1 \neq L_2$$

  Irreparabilidad:
  El salto $\Delta = \lvert L_2 - L_1\rvert$ no se puede eliminar redefiniendo $f(x_0)$.
  Ejemplo con función por partes:

  $$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 1 \\\\ x^2, & x \leq 1 \end{cases}$$

  
  En $x=1$:

  $$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$$

  Los límites laterales no son iguales, por lo que es una discontinuidad de salto.

Discontinuidades de segunda especie

Las discontinuidades de segunda especie son puntos donde al menos uno de los límites laterales no existe, o el límite “existe” pero tiende a infinito, e incluyen las discontinuidades infinitas y las discontinuidades oscilatorias.

• Discontinuidad infinita
  Característica de determinación:

  $$\lim_{x \to x_0} \lvert f(x)\rvert = +\infty$$

  En estos casos, la gráfica de la función presenta una asíntota vertical cerca de $x_0$.
  Ejemplo típico:

  $$f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$$

  
  En $x=2$:

  $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$$

• Discontinuidad oscilatoria
  Característica de determinación:
  En un punto, el límite oscila infinitamente dentro de un intervalo finito, sin converger a un valor finito ni tender a infinito.
  Análisis del ejemplo:

  $$f(x) = \sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)$$

  
  Cuando $x \to 0$, $\frac{1}{x}$ crece sin cota, haciendo que $\sin\bigl(\frac{1}{x}\bigr)$ oscile infinitamente en el intervalo $[-1,1]$, y los límites laterales no existen, por lo que $x=0$ es una discontinuidad oscilatoria.

Ubicaciones clave y métodos de determinación

Al determinar los puntos de discontinuidad de una función, generalmente es necesario examinar los siguientes tipos de valores de $x$, que suelen ser lugares potenciales de discontinuidad.

• Puntos frontera del dominio
  Por ejemplo, el dominio de $f(x)=\sqrt{x}$ es $[0,\infty)$. En $x=0$, la función solo está definida por la derecha, por lo que hay que verificar $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Si la función tiene otros intervalos más pequeños, se deberá juzgar el límite lateral según el caso concreto.

• Puntos de unión de funciones por partes
  Si la función está dada de forma segmentada

  $$f(x) = \begin{cases} g(x), & x < a \\\\ h(x), & x \ge a \end{cases}$$

  entonces se debe verificar en $x=a$:
  la relación entre $\lim_{x \to a^-} g(x)$, $\lim_{x \to a^+} h(x)$ y el valor funcional $f(a)$.

• Ceros del denominador (funciones racionales)
  Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, primero se resuelve la ecuación $Q(x)=0$. Para los puntos $x_0$ que cumplen $Q(x_0)=0$, también hay que ver si $P(x_0)=0$.

  • Si $P(x_0)\neq 0$, generalmente es una discontinuidad infinita.
  • Si $P(x_0)=0$, primero se simplifica y luego se determina. Por ejemplo, $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},$$ en $x=1$ se simplifica a $f(x)=x+1$ (con $x \neq 1$), lo que indica que el punto es una discontinuidad evitable.

• Puntos de estructura de funciones especiales

Tipo de función	Valores de $x$ a verificar	Tipo de discontinuidad típico
Función logarítmica	$\ln[g(x)]$ donde $g(x)\leq 0$	Discontinuidad de segunda especie
Función tangente	$\tan[g(x)]$ donde $g(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi$	Discontinuidad infinita
Función valor absoluto	$\lvert x-a\rvert$ en $x=a$	Generalmente continua (cambio en diferenciabilidad)

• Puntos de oscilación límite
  Las funciones que contienen estructuras de oscilación “de alta frecuencia” como $\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$, $\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$, a menudo presentan oscilaciones infinitas en ciertos puntos (comúnmente en $x=0$), por lo que deben examinarse con atención.

• Puntos de unión de funciones compuestas
  Si la función exterior impone restricciones adicionales a la entrada, es necesario determinar el rango donde la expresión interna cumple dicha restricción. Por ejemplo,
  $f(x)=\sqrt{\ln x}$, se debe garantizar $\ln x \ge 0$ (es decir, $x \ge 1$), y verificar el límite lateral y el valor funcional en $x=1$.

Pasos integrales de determinación

Una vez identificados los puntos candidatos a verificar, se puede seguir el siguiente flujo de análisis:

graph TD
    A[Calcular límite izquierdo] --> B[Calcular límite derecho]
    B --> C{¿Existen los límites?}
    C -->|Sí| D[Análisis de primera especie]
    C -->|No| E[Análisis de segunda especie]

Para una discriminación más detallada de tipos, consulte el siguiente diagrama:

graph TD

    A[Punto a verificar x_0] --> B{¿Está definido f(x_0)?}

    B -->|No definido| C[Calcular límites laterales]
    B -->|Definido| C1[Calcular límites laterales]

    C --> D{¿Ambos límites laterales existen?}
    C1 --> D{¿Ambos límites laterales existen?}

    D -->|No| E{Posible discontinuidad de segunda especie}
    E -->|Si el límite tiende a ∞| F[Discontinuidad infinita]
    E -->|Si el límite oscila| G[Discontinuidad oscilatoria]

    D -->|Sí| H{¿Los límites laterales son iguales?}
    H -->|No| I[Discontinuidad de salto]

    H -->|Sí| J{¿Límites laterales = f(x_0)?}
    J -->|f(x_0) no definido o diferente| K[Discontinuidad evitable]
    J -->|Igual| L[Punto continuo]

Ejemplo 1:
Analice la discontinuidad de

$$f(x)=\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}$$

en $x=0$:

• Como $f(0)$ no está definido, primero se determina como discontinuidad.
• Calcule los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.$$ Los límites laterales no son iguales, por lo que es una discontinuidad de salto.

Ejemplo 2:
Determine la discontinuidad de

$$f(x) = x \cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)$$

en $x=0$:

• La función original no está definida explícitamente en $x=0$, primero se determina como discontinuidad.
• Sin embargo, mediante el teorema del sándwich:
  $-\lvert x\rvert \le x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \le \lvert x\rvert$,
  se obtiene
  $\lim_{x \to 0} x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = 0$.
• Si se define $f(0)=0$, la función se vuelve continua en $x=0$. Por lo tanto, el origen es una discontinuidad evitable.

Manejo de casos especiales

• Puntos de unión de funciones por partes
  Se deben calcular los límites izquierdo y derecho por separado, y luego compararlos con el valor de la función en el punto de unión. Si los tres son iguales, es continua; de lo contrario, es una discontinuidad.
  Ejemplo:

  $$f(x)= \begin{cases} e^x, & x<0 \\\\ x+1, & x\ge 0 \end{cases}$$

  En $x=0$:
  $\lim_{x \to 0^-} e^x = 1$, $\lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$, $f(0)=1$,
  los tres son iguales, por lo que es continua.

• Existencia de derivada y discontinuidad
  Si $f(x)$ es derivable en $x_0$, entonces necesariamente es continua en $x_0$.
  Sin embargo, cuando una función no es derivable en un punto, no necesariamente es discontinua; por ejemplo, $f(x)=\lvert x\rvert$ no es derivable en $x=0$, pero la función sigue siendo continua.