Funciones trigonométricas y sus propiedades

Funciones trigonométricas

Forma estándar

$$\begin{cases} \sin \theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \\\\ \cos \theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \\\\ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{cases}$$

Características básicas

Función seno $\sin(x)$

$$y = \sin x$$

• Período: $2\pi$
• Simetría: Función impar
• Puntos extremos: $\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi, 1 \right)$
• Ceros: $k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

Función coseno $\cos(x)$

$$y = \cos x$$

• Período: $2\pi$
• Simetría: Función par
• Puntos extremos: $(2k\pi, 1)$
• Ceros: $\frac{\pi}{2}+k\pi$

Función tangente $\tan(x)$

$$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

• Período: $\pi$
• Asíntotas: $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$
• Rango: $\mathbb{R}$
• Puntos especiales: Pasa por el origen, simétrico respecto al centro del período

Propiedades principales

Derivadas e integrales

Función	Derivada	Integral
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$-\ln\cos x+ C$

Identidades importantes

Identidad pitagórica:

$$\sin^2x + \cos^2x = 1$$

Fórmulas de suma de ángulos:

$$\sin(a\pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$ $$\cos(a \pm b) = \cos{a} \cos{b} \mp \sin{a} \sin{b}$$

Análisis comparativo de funciones

Propiedad	Función seno	Función coseno	Función tangente
Valor inicial	0	1	0
Puntos extremos	$\pi/2$ veces impar	$\pi$ veces par	Ninguno
Periodicidad	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
Asíntotas	Ninguna	Ninguna	Presente

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Fórmulas de reducción

Resumen

1. Dividir el ángulo: Expresar el ángulo objetivo como $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$
2. Determinar paridad: Determinar si $k$ es par o impar para decidir si se cambia el nombre de la función
3. Ubicar el cuadrante: Determinar el cuadrante de $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ y el signo de la nueva función
4. Resultado final: Combinar el signo y el nombre de la función

Análisis del principio central

Lo impar cambia, lo par permanece: regla de transformación del nombre de la función

Cuando el ángulo es $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ ($k \in \mathbb{Z}$):

• Cambio impar: Si $k$ es impar, el nombre de la función trigonométrica se transforma en su cofunción (seno↔coseno, tangente↔cotangente)
• Permanencia par: Si $k$ es par, el nombre de la función permanece igual

Análisis de ejemplo:

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$: $k=1$ (impar), $\sin$ se transforma en $\cos$ → $\cos\alpha$
2. $\cos(\pi + \alpha)$: $k=2$ (par), nombre permanece → $\cos\alpha$
3. $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$: $k=3$ (impar), $\tan$ se transforma en $\cot$ → $\cot\alpha$

El signo depende del cuadrante: determinación del signo del valor de la función

Suponiendo que $\alpha$ es un ángulo agudo, considerar $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ como un ángulo completo y determinar el signo según su cuadrante:

Regla mnemotécnica de signos por cuadrante:

Primer cuadrante: todas positivas, segundo: seno, tercero: tangente y cotangente, cuarto: coseno

Pasos de determinación:

1. Determinar el cuadrante de $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$
2. Determinar el signo de la nueva función en ese cuadrante
3. Asignar el signo al resultado simplificado

Ejemplos de análisis:

• $\cos\left(\pi + \alpha\right)$:

  1. Par permanece
  2. $\pi + \alpha$ está en el tercer cuadrante
  3. El coseno en el tercer cuadrante es negativo
  4. Resultado: $-\cos\alpha$

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$:

  1. Cambio impar
  2. $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ está en el tercer cuadrante
  3. El seno en el tercer cuadrante es negativo
  4. Resultado: $-\cos\alpha$

Ejemplos de aplicación integral

Ejemplo 1: Simplificar $\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)$

1. Dividir ángulo: $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ → $k=5$ (impar)
2. Cambio de nombre: $\sin$ → $\cos$
3. Cuadrante: $\frac{5\pi}{2} - \alpha$ está en el primer cuadrante, coseno positivo
4. Resultado: $\cos\alpha$

Proceso de derivación:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$$

Ejemplo 2: Calcular $\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)$

1. Dividir ángulo: $\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}$ → $k=7$ (impar)
2. Cambio de nombre: $\tan$ → $\cot$
3. Cuadrante: $\frac{7\pi}{2} + \alpha$ está en el cuarto cuadrante, cotangente negativo
4. Resultado: $-\cot\alpha$

Derivación de fórmula:

$$\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \tan\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot\alpha$$

Manejo de casos especiales

Manejo de ángulos que exceden $2\pi$:

• Tomar el módulo $2\pi$ del ángulo y luego evaluar. Por ejemplo, $\frac{9\pi}{2} - \alpha$ se simplifica a $\frac{\pi}{2} - \alpha + 4\pi$, es decir, $k=9$ (impar)

Manejo de ángulos negativos:

• Usar propiedades de paridad. Por ejemplo, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (propiedad de función impar)

Funciones trigonométricas inversas

Forma estándar

\begin{cases}
\theta = \arcsin\left(\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\right) \\
\theta = \arccos\left(\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\right) \\
\theta = \arctan\left(\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\right)
\end{cases}

Función	Dominio	Rango	Monotonía
$\arcsin x$	$[-1,1]$	$[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	Estrictamente creciente
$\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	Estrictamente decreciente
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	Estrictamente creciente

Características básicas de las funciones

Función arco seno $\arcsin(x)$

$$y = \arcsin x$$

• Dominio: $x \in [-1, 1]$
• Rango: $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$
• Derivada:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$

• Monotonía: Estrictamente creciente
• Valores especiales:
  • $\arcsin(0) = 0$
  • $\arcsin\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$

Función arco coseno $\arccos(x)$

$$y = \arccos x$$

• Dominio: $x \in [-1, 1]$
• Rango: $[0, \pi]$
• Derivada:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$

• Monotonía: Estrictamente decreciente
• Identidad:

$$\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$$

Función arco tangente $\arctan(x)$

$$y = \arctan x$$

• Dominio: $\mathbb{R}$
• Rango: $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$
• Derivada:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$$

• Asíntotas: $y = \pm \frac{\pi}{2}$
• Simetría:

$$\arctan(-x) = -\arctan x$$

Aplicaciones típicas:
Cuando $x \to \infty$, $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$
Fórmula de integral:

$$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C \quad (a > 0)$$

Imágenes y efectos de parámetros

Tomando $\sin(x)$ como ejemplo:

Parámetros básicos

Modulación de amplitud:

$$y = A\sin x \quad \Rightarrow \quad \text{Altura de cresta } |A|$$

Cambio de frecuencia:

$$y = \sin \omega x \quad \Rightarrow \quad \text{Período } T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Desplazamiento de fase:

$$y = \sin(x + \phi) \quad \Rightarrow \quad \text{Imagen se desplaza a la izquierda }\phi$$

Ejemplo de forma de onda compuesta:

$$y = 2\sin(3x - \pi/4) \quad \text{Características: amplitud 2, frecuencia 3, desplazamiento a la derecha }\frac{\pi}{12}$$

Transformaciones de la imagen

Traslación horizontal (desplazamiento de fase)

Expresión matemática:

$$y = \sin(x + c)$$

• $c < 0$: Imagen se desplaza a la derecha $c$ unidades
• $c > 0$: Imagen se desplaza a la izquierda $|c|$ unidades
  Ejemplo:

$$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad \text{Punto de cresta original } \left(\frac{\pi}{2},1\right) \text{ se convierte en } (\pi,1)$$

Traslación vertical

Expresión matemática:

$$y = \sin x + d$$

• $d > 0$: Imagen se desplaza hacia arriba $d$ unidades
• $d < 0$: Imagen se desplaza hacia abajo $|d|$ unidades
  Ejemplo:

$$y = \sin x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{Valor máximo } 3 \text{, valor mínimo } 1$$

Modulación de amplitud

Expresión matemática:

$$y = A \sin x$$

• $|A| > 1$: Estiramiento vertical
• $0 < |A| < 1$: Compresión vertical
• $A < 0$: Reflexión sobre el eje $x$
  Ejemplo:

$$y = -3 \sin x \quad \Rightarrow \quad \text{Amplitud } 3 \text{, onda invertida}$$

$$y = \frac{1}{2} \sin x \quad \Rightarrow \quad \text{Amplitud } \frac{1}{2} \text{, compresión vertical}$$

Ajuste de período (cambio de frecuencia)

Expresión matemática:

$$y = \sin(Bx)$$

• Período: $T = \frac{2\pi}{|B|}$
• $|B| > 1$: Compresión horizontal (período más corto)
• $0 < |B| < 1$: Estiramiento horizontal (período más largo)
  Ejemplo:

$$y = \sin(2x) \quad \Rightarrow \quad T = \pi \text{ (la mitad del período original } 2\pi\text{)}$$

$$y = \sin(\frac{1}{2}x) \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi \text{ (el doble del período original } 2\pi\text{)}$$

Transformaciones de reflexión

1. Reflexión sobre el eje $x$
   Expresión:

   $$y = -\sin x \quad \Rightarrow \quad \text{Todas las coordenadas y se invierten}$$

$$ **Ejemplo**:$$

\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \Rightarrow \quad -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1

2. **Reflexión sobre el eje $y$** Expresión:

y = \sin(-x) \quad \Rightarrow \quad \text{Equivalente a } -\sin x \ (\because \sin(-x) = -\sin x)

$$ **Ejemplo**:$$

\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1

#### Ejemplo de transformación compuesta **Función de ejemplo**:

y = 3 \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1

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