Esencia de las Derivadas

Notación de Derivadas

Notación de Lagrange

Utiliza el símbolo de la función con una prima para indicar la derivada. Si $y = f(x)$, entonces:

$$f'(x_0) \quad \text{o} \quad y'$$

Características:

• Relaciona directamente el nombre de la función, facilitando la comprensión de la correspondencia entre función y derivada.
• Las derivadas de orden superior se representan con un número de primas: la segunda derivada es $f''(x)$, la tercera es $f'''(x)$
  Ejemplo:
  La derivada de $f(x) = x^3$ es:

$$f'(x) = 3x^2 \\ f''(x) = 6x$$

Escenarios de uso:

• Expresiones de funciones explícitas (por ejemplo, $f(x) = \sin x$)
• Demostraciones teóricas y deducción de fórmulas

Notación de Leibniz

Utiliza el símbolo diferencial para representar la derivada. Si $y = f(x)$, entonces:

$$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0} \quad \text{o} \quad \frac{d}{dx}f(x)$$

Características:

• Muestra intuitivamente que la derivada es el límite de la razón de incrementos.
• Las derivadas de orden superior se indican con exponentes: la segunda derivada es $\frac{d^2y}{dx^2}$
  Ejemplo de regla de la cadena:
  Sea $y = \sin(u)$, $u = x^2$, entonces:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

Escenarios de uso:

• Ecuaciones implícitas (por ejemplo, $x^2 + y^2 = 1$)
• Cálculo multivariable y ecuaciones físicas

Notación de Newton

Utiliza puntos sobre la variable para indicar derivadas respecto al tiempo. Si el desplazamiento es $s(t)$, entonces:

$$\dot{s} = \frac{ds}{dt}, \quad \ddot{s} = \frac{d^2s}{dt^2}$$

Características:

• Notación concisa, especialmente adecuada para derivadas temporales.
• Para más de tres órdenes, se utilizan múltiples puntos (por ejemplo, $\dddot{s}$ para la tercera derivada).
  Ejemplo cinemático:
  Movimiento de caída libre $s(t) = \frac{1}{2}gt^2$, entonces:

$$\dot{s} = gt \quad (\text{velocidad}) \\ \ddot{s} = g \quad (\text{aceleración})$$

Escenarios de uso:

• Mecánica clásica y problemas de dinámica
• Sistemas de ecuaciones diferenciales (por ejemplo, $\ddot{x} + \omega^2x = 0$)

Comparación y Principios de Selección

Tipo de Notación	Ventajas	Limitaciones
Lagrange	Relación funcional clara	Notación de derivadas superiores extensa
Leibniz	Refleja intuitivamente la esencia del diferencial	Precaución: no es una fracción
Newton	Eficiente para derivadas temporales	Solo aplicable a funciones de una variable temporal

Por ejemplo, en la ecuación de calor, es más eficiente combinar diferentes notaciones:

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T \quad (\text{derivada espacial de Leibniz + derivada temporal de Newton})$$

Definición

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando el incremento de la variable tiende a cero. La expresión matemática es:

\begin{eqnarray} f'(x_0) & = & \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\\\ f'(x_0) & = & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray}

Cuando el límite existe, se dice que la función $y = f(x)$ es derivable en $x_0$, y este límite se llama la derivada de $y = f(x)$ en el punto $x_0$.

En esencia, la definición de derivada es un problema de límite

De la definición se puede ver que la derivada estudia la tendencia de cambio mediante la razón entre el cambio del valor de la función y el cambio de la variable independiente.

«Desde la perspectiva gráfica, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la función $y = f(x)$ en $x = x_0$»

Verificación: La pendiente de la tangente de la función $y = \ln{x} + 1$ en $x = 1$ es $1$, entonces la tangente es $y - 1 = 1 \cdot (x - 1)$

Y aquí $f'(x)$ en $x = 1$ es efectivamente $1$.

¿Cómo demostrarlo más rigurosamente?

Se puede observar que en esta ilustración, cuando $\Delta x \to 0$, el punto $(x_0, f(x_0))$ y $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$ se aproximan a una línea recta, cuya pendiente es:

$$k = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{x_0 + \Delta x - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

¿Les resulta familiar?

Reglas de Derivación

Fórmulas de Derivación de Funciones Elementales Básicas

Tipo de Función	Fórmula de Derivada
Constante	$(C)' = 0$
Potencia	$(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}$
Exponencial	$(a^x)' = a^x \ln a$
Exponencial natural	$(e^x)' = e^x$
Logarítmica	$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
Logarítmico natural	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Seno	$(\sin x)' = \cos x$
Coseno	$(\cos x)' = -\sin x$

Las fórmulas de derivación de las funciones elementales básicas, por supuesto, se pueden calcular mediante la definición de derivada.

Operaciones

Regla de suma y resta

$$(u \pm v)' = u' \pm v'$$

Regla del producto

$$(uv)' = u'v + uv'$$

Regla del cociente

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

donde $u,v$ son funciones elementales básicas

Regla de la Cadena

Para funciones compuestas, es necesario derivar mediante la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta es igual a la derivada de la función externa evaluada en la función interna multiplicada por la derivada de la función interna. La intuición es que la tasa de cambio de la tasa de cambio es el producto de las tasas de cambio individuales.

Pasos básicos:

1. Identificar la función externa y la función interna en la función compuesta.
2. Derivar la función externa, manteniendo la función interna sin cambios.
3. Derivar la función interna.
4. Multiplicar las dos derivadas para obtener el resultado final.

Ejemplo 1: Derivar $y = \sin(2x)$

Solución: Sea $u = 2x$, entonces $y = \sin u$

• Derivada de la función externa: $\frac{dy}{du} = \cos u$
• Derivada de la función interna: $\frac{du}{dx} = 2$
• Aplicar la regla de la cadena: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x)$

Ejemplo 2: Derivar $y = (3x + 2)^2$

Solución: Sea $u = 3x + 2$, entonces $y = u^2$

• Derivada externa: $\frac{dy}{du} = 2u$
• Derivada interna: $\frac{du}{dx} = 3$
• Aplicar regla de la cadena: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 3 = 6(3x + 2)$

Ejemplo 3: Derivar $y = e^{3x^2+2}$

Solución: Sea $u = 3x^2+2$, entonces $y = e^u$

• Derivada externa: $\frac{dy}{du} = e^u$
• Derivada interna: $\frac{du}{dx} = 6x$
• Aplicar regla de la cadena: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 6x = 6x e^{3x^2+2}$

Regla de la Cadena para Funciones Compuestas Múltiples

Para funciones compuestas con varias capas, se puede aplicar la regla de la cadena sucesivamente:

$$\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Ejemplo: Derivar $y = \ln\sqrt{x}$

Solución: Se puede considerar como $y = \ln(x^{1/2})$

• Sea $u = x^{1/2}$, entonces $y = \ln u$
• Derivada externa: $\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$
• Derivada interna: $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$
• Aplicar regla de la cadena: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2x}$

Propiedades

Condición de Derivabilidad

Para la función $y = f(x)$, cuando $x = x_0$, existen las derivadas laterales:

$$\begin{align} \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} & = f'_{+}(x_0) \\\\ \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} & = f'_{-}(x_0) \end{align}$$

Donde $f'_{+}(x_0)$ y $f'_{-}(x_0)$ son la derivada por la derecha y por la izquierda de $f(x)$ en $x = x_0$, respectivamente, denominadas derivadas unilaterales.
Sobre esta base, para la función $y = f(x)$, cuando $x = x_0$, si las derivadas unilaterales existen y son iguales:

$$f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0)$$

entonces $f'(x)$ existe y es igual al valor de la derivada unilateral (condición necesaria y suficiente).

Relación entre Derivabilidad y Continuidad

A partir de lo anterior, es natural pensar en comparar la derivabilidad con la continuidad. Las definiciones de estas dos propiedades son muy similares, ¿verdad?

Continuidad
Si la función $f(x)$ es continua en $x = x_0$, entonces:
$f(x) = \lim_{x \to {x_0}^+}f(x) = \lim_{x \to {x_0}^-} f(x)$
Derivabilidad
Si la función $f(x)$ es derivable en $x = x_0$, entonces:
$f'(x) = f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0)$

En el artículo Límites de funciones desde la perspectiva de los números hiperreales ya mencionamos que el punto de vista de los números hiperreales permite entender mejor los límites de funciones. De manera similar, podemos entender mejor la derivabilidad.

Primero, complementemos sobre la continuidad:

La función $f(x)$ es continua en $x = x_0$ si y solo si

$$\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{tal que cuando } |x - x_0| < \delta \text{ se cumple } |f(x) - f(x_0)| < \epsilon.$$

Es decir, todos los números hiperreales en un entorno centrado en $x_0$, después de la operación de tomar la parte estándar, resultan en el número real $f(x_0)$.
Y el intervalo continuo está formado por números reales, pero estos números reales están acompañados de números hiperreales infinitesimalmente cercanos en el modelo hiperreal. La continuidad desde la perspectiva hiperreal se manifiesta como la estabilidad del valor de la función bajo perturbaciones infinitesimales, no como una “conexión sin costuras” del espacio.

Es evidente que la definición de continuidad de una función: $f(x) = \lim_{x \to {x_0}^+}f(x) = \lim_{x \to {x_0}^-} f(x)$ significa que la función $f(x)$ es continua en $x_0$ si y solo si para todo número hiperreal $x$ infinitamente cercano a $x_0$, se cumple que $f(x)$ está infinitamente cerca de $f(x_0)$. La continuidad es una propiedad local; para que una función sea continua en un intervalo, debe verificarse en cada punto por separado. Por eso, a menudo se dice que la función es “continua en todo punto” del intervalo.

Bien, continuemos con la derivabilidad de las funciones.
Definición de derivada:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Si y solo si este límite tiene sentido, se dice que la función es derivable. Es decir:

$$f'(x_0) \not= \infty$$

Para el caso $f'(x_0) = 0$, significa que el numerador es un infinitesimal de orden superior al denominador. Es decir, $f(x) - f(x_0)$ tiende a $0$ más rápido que $x - x_0$.
La expresión de que la función es continua en $x = x_0$ es precisamente que $f(x) - f(x_0)$ tiende a $0$.
Y la derivabilidad exige una condición más fuerte que la continuidad: $f(x) - f(x_0)$ debe ser un infinitesimal de orden superior en comparación con $x - x_0$ (cuando la derivada es cero) o del mismo orden (cuando la derivada es finita).

Para el caso $f'(x_0) = a, a \in \mathbb{R}$, el numerador es un infinitesimal del mismo orden que el denominador.
Entonces, la condición de derivabilidad también es más fuerte y exigente: $f(x) - f(x_0)$ debe ser un infinitesimal del mismo orden que $x - x_0$.

Por lo tanto, podemos concluir:

$$\begin{align} f(x_0)\ \text{derivable} \Rightarrow f(x_0)\ \text{continua} \\\\ f(x_0)\ \text{continua} \not\Rightarrow f(x_0)\ \text{derivable} \end{align}$$

Análisis de Continuidad y Derivabilidad de una Función y su Valor Absoluto

Continuidad

Supongamos que tenemos una función $f(x)$, continua en todo su dominio.
Para $f(x)$, según el rango de sus valores, se pueden resumir tres casos posibles como se muestra en la siguiente figura:

Para $\mid f(x) \mid$, la situación correspondiente es:

Claramente, si $f(x)$ es continua en un punto, entonces $\mid f(x) \mid$ también es continua en ese punto (después de tomar el valor absoluto, los números hiperreales en el entorno siguen tendiendo al punto real).
Ahora, si $\mid f(x) \mid$ es continua en un punto, ¿podemos demostrar que $f(x)$ es continua en ese punto?

Conclusión:

$$\begin{align} f(x_0)\ \text{continua} & \Rightarrow \mid f(x_0) \mid\ \text{continua} \\\\ \mid f(x_0) \mid\ \text{continua} & \not\Rightarrow f(x_0)\ \text{continua} \end{align}$$

Derivabilidad

Para $f(x)$, según el rango de sus valores, se pueden resumir tres casos posibles:

Para $\mid f(x) \mid$, la situación correspondiente es:

Respecto a la derivabilidad, ya hemos dicho que la condición de derivabilidad es más exigente que la continuidad; además, se requiere que $f(x) - f(x_0)$ sea un infinitesimal de orden superior respecto a $x - x_0$ (cuando la derivada es cero) o del mismo orden.

Esta situación cumple la continuidad, pero no satisface $f'(x) = f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0)$.
Conclusión:

$$\begin{cases} f(x_0)\ \text{derivable} \\\\ f(x_0) \not= 0 \end{cases} \Rightarrow \mid f(x_0) \mid\ \text{derivable}$$ $$\begin{cases} f(x_0)\ \text{derivable} \\\\ f(x_0) = 0 \\\\ f'(x_0) \not= 0 \end{cases} \Rightarrow \mid f(x_0) \mid\ \text{no derivable}$$

Cuando $f(x_0) = 0, f'(x_0) = 0$, la gráfica coincide con el eje $x$, y $\mid f'(x_0) \mid = 0$

La necesidad ya se describió en la demostración de la continuidad anterior, no se repetirá.
Se puede resumir como:

$$f(x_0)\ \text{derivable} \not\Leftrightarrow \mid f(x_0) \mid\ \text{derivable}$$

Relación de Paridad entre la Función Derivada y la Función Original

Aquí se da la conclusión:

$$\begin{cases} \text{Si } f(x) \text{ es una función par derivable, entonces } f'(x) \text{ es una función impar} \\\\ \text{Si } f(x) \text{ es una función impar derivable, entonces } f'(x) \text{ es una función par} \end{cases}$$

Demostración:
$\text{Si } f(x) \text{ es una función par derivable, entonces } f'(x) \text{ es una función impar}$

$$\begin{array}{c} f'(x) & = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ f'(-x) & = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(-x + \Delta x) - f(-x)}{\Delta x} \\\\ & = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ & = & \lim_{- \Delta x \to 0} \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{- \Delta x} \\\\ & = & -f'(x) \end{array}$$

La demostración de $\text{Si } f(x) \text{ es una función impar derivable, entonces } f'(x) \text{ es una función par}$ es similar a la anterior, no se repetirá.