Serie de Taylor y regla de Leibniz para derivadas de orden superior

Este artículo utiliza la función $f(x) = x^2 \ln(1 - x)$ como ejemplo para explicar detalladamente cómo calcular $f^{(n)}(0)$ ($n \ge 3$) mediante el método de la serie de Taylor y el método de la regla de Leibniz, y analiza la equivalencia de ambos métodos.

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Problema

Sea $f(x) = x^2 \ln{(1 - x)}$, entonces para $n \ge 3$, $f^{(n)}(0) = \text ?$

Método de la serie de Taylor

Idea central

Expandir la función en una serie de Taylor y leer directamente el valor de la derivada de orden superior a partir del coeficiente de la serie de potencias.

Pasos específicos

1. Expandir $\ln(1 - x)$
   Se sabe que la expansión de Taylor de $\ln(1 - x)$ para $|x| < 1$ es:

   $$\ln(1 - x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}.$$

2. Construir la forma de serie de $f(x)$
   Multiplicar $x^2$ por la serie anterior:

   $$f(x) = x^2 \cdot \left(-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}\right) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k+2}}{k}.$$

   Mediante el cambio de variable $m = k + 2$ (es decir, $k = m - 2$), la serie se reescribe como:

   $$f(x) = -\sum_{m=3}^{\infty} \frac{x^m}{m - 2}.$$

3. Extraer el coeficiente del término $x^n$
   Para $n \ge 3$, el coeficiente del término $x^n$ es $a_n = -\frac{1}{n - 2}$. Según la fórmula de Taylor:

   $$f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n = -\frac{n!}{n - 2}.$$

Verificación con ejemplo ($n = 3$)

Calcular $f^{(3)}(0)$:

$$f^{(3)}(0) = -\frac{3!}{3 - 2} = -6.$$

Verificación por derivación directa:

$$f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} \left(x^2 \ln(1 - x)\right) \bigg|_{x=0} = -6.$$

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Método de la regla de Leibniz

Idea central

Utilizar la fórmula de derivada de orden superior para un producto de funciones:

$$(f \cdot g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) \cdot g^{(n - k)}(x).$$

Pasos específicos

1. Descomponer la función
   Sea $f(x) = x^2$, $g(x) = \ln(1 - x)$.

2. Analizar las derivadas de orden superior de $f(x)$

   • $f^{(0)}(x) = x^2$, en $x=0$ vale $0$.
   • $f^{(1)}(x) = 2x$, en $x=0$ vale $0$.
   • $f^{(2)}(x) = 2$, en $x=0$ vale $2$.
   • Para $k \ge 3$, $f^{(k)}(x) = 0$.

3. Calcular las derivadas de orden superior de $g(x)$
   $g^{(m)}(x) = -\frac{(m - 1)!}{(1 - x)^m}$, en $x=0$:

   $$g^{(m)}(0) = -(m - 1)!.$$

4. Aplicar la regla de Leibniz
   Dado que $f^{(k)}(0)$ solo es no nulo para $k=2$, se tiene:

   $$f^{(n)}(0) = \binom{n}{2} \cdot f^{(2)}(0) \cdot g^{(n - 2)}(0).$$

   Sustituyendo los valores:

   $$f^{(n)}(0) = \frac{n(n - 1)}{2} \cdot 2 \cdot \left(-(n - 3)!\right) = -n(n - 1)(n - 3)!.$$

Verificación con ejemplo ($n = 4$)

Calcular $f^{(4)}(0)$:

$$f^{(4)}(0) = -4 \cdot 3 \cdot (4 - 3)! = -12.$$

Verificación con la fórmula de Taylor:

$$-\frac{4!}{4 - 2} = -\frac{24}{2} = -12.$$

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Unidad de los resultados

Los resultados de ambos métodos son equivalentes:

$$-\frac{n!}{n - 2} = -n(n - 1)(n - 3)!.$$

Demostración:

$$\frac{n!}{n - 2} = \frac{n(n - 1)(n - 2)!}{n - 2} = n(n - 1)(n - 3)!.$$

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Preguntas y respuestas

P1: En el método de la serie de Taylor, después del cambio de variable $m = k + 2$, ¿por qué las potencias de $x$ en ambos lados de la igualdad son iguales?

R: El cambio $m = k + 2$ solo modifica la forma de indexar la suma, no altera el contenido matemático de la serie. En la serie original, la potencia de $x^{k+2}$ está determinada por $k+2$, y después del cambio se escribe directamente como $x^m$, por lo que la potencia de $x$ se mantiene consistente.

P2: En la regla de Leibniz, ¿por qué solo el término con $k=2$ contribuye al resultado?

R: Porque las derivadas de orden superior de $f(x) = x^2$ son cero para $k \ge 3$, y para $k=0,1$ se tiene $f^{(k)}(0) = 0$, el único término no nulo proviene de $k=2$.

P3: ¿El radio de convergencia de la serie de Taylor afecta el resultado?

R: La serie de Taylor converge para $|x| < 1$, pero el cálculo de $f^{(n)}(0)$ depende solo de las propiedades locales en $x=0$, por lo que la expansión es válida para calcular las derivadas de orden superior.

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Conclusión

Para $n \ge 3$, la derivada de orden $n$ en $x=0$ de la función $f(x) = x^2 \ln(1 - x)$ es:

$$\boxed{f^{(n)}(0) = -\frac{n!}{n - 2}}.$$