Когда функция не является непрерывной в некоторой точке своей области определения, такая точка называется точкой разрыва. По характеру существования пределов точки разрыва обычно делятся на два класса и четыре типа:

Разрывы первого рода

Разрывы первого рода - это точки, где оба односторонних предела существуют, но условие непрерывности не выполняется. Они включают устранимые разрывы и скачкообразные разрывы.

• Устранимый разрыв
  Условие:

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L \neq f(x_0) \quad\text{или } f(x_0)\text{ не определено}$$

  Способ устранения:
  Если переопределить $f(x_0)=L$, функция станет непрерывной в $x_0$.
  Типичный пример:

  $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\\\ 0, & x = 0 \end{cases}$$

  
  В точке $x=0$:

  $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad\text{но } f(0) = 0$$

  Следовательно, $x=0$ - точка устранимого разрыва.

• Скачкообразный разрыв
  Условие:

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1 \quad\text{и}\quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2 \quad\text{но } L_1 \neq L_2$$

  Неустранимость:
  Скачок $\Delta = \lvert L_2 - L_1\rvert$ невозможно устранить переопределением $f(x_0)$.
  Пример кусочно заданной функции:

  $$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 1 \\\\ x^2, & x \leq 1 \end{cases}$$

  
  В точке $x=1$:

  $$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$$

  Односторонние пределы не равны, поэтому это точка скачкообразного разрыва.

Разрывы второго рода

Разрывы второго рода - это точки, где хотя бы один односторонний предел не существует или стремится к бесконечности. Они включают бесконечные разрывы и колебательные разрывы.

• Бесконечный разрыв
  Характеристика:

  $$\lim_{x \to x_0} \lvert f(x)\rvert = +\infty$$

  В этом случае график функции вблизи $x_0$ имеет вертикальную асимптоту.
  Типичный пример:

  $$f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$$

  
  В точке $x=2$:

  $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$$

• Колебательный разрыв
  Характеристика:
  Предел в точке бесконечно колеблется в конечном интервале, не сходясь к конечному значению и не стремясь к бесконечности.
  Пример:

  $$f(x) = \sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)$$

  
  При $x \to 0$ выражение $\frac{1}{x}$ неограниченно возрастает, заставляя $\sin\bigl(\frac{1}{x}\bigr)$ бесконечно колебаться в интервале $[-1,1]$, поэтому $x=0$ - точка колебательного разрыва.

Ключевые точки и методы определения

При определении точек разрыва функции обычно проверяют следующие типы значений $x$, которые являются потенциальными точками разрыва.

• Граничные точки области определения
  Например, область определения $f(x)=\sqrt{x}$ - $[0,\infty)$, в точке $x=0$ функция определена только справа, необходимо проверить $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Если функция имеет другие более узкие интервалы, то односторонние пределы оцениваются в зависимости от ситуации.

• Точки стыка кусочно заданных функций
  Если функция задана кусочно

  $$f(x) = \begin{cases} g(x), & x < a \\\\ h(x), & x \ge a \end{cases}$$

  необходимо проверить в точке $x=a$ соотношение между:
  $\lim_{x \to a^-} g(x)$, $\lim_{x \to a^+} h(x)$ и $f(a)$.

• Нули знаменателя (рациональные функции)
  Если $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, сначала решают уравнение $Q(x)=0$. Для точки $x_0$, где $Q(x_0)=0$, проверяют, равен ли $P(x_0)$ нулю.

  • Если $P(x_0)\neq 0$, обычно бесконечный разрыв
  • Если $P(x_0)=0$, сначала сокращают дробь, затем определяют тип. Например, $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},$$ после сокращения в $x=1$ получаем $f(x)=x+1$ ($x \neq 1$), значит точка является устранимым разрывом.

• Точки, связанные со специальными функциями

Тип функции	Проверяемые значения $x$	Типичный тип разрыва
Логарифмическая	$\ln[g(x)]$, где $g(x)\leq 0$	Разрыв второго рода
Тангенс	$\tan[g(x)]$, где $g(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi$	Бесконечный разрыв
Абсолютная величина	$\lvert x-a\rvert$ в $x=a$	Обычно непрерывна (изменение дифференцируемости)

• Точки колебаний предела
  Функции, содержащие $\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$, $\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$ и подобные “высокочастотные” колебательные структуры, часто имеют бесконечные колебания в некоторых точках (обычно $x=0$), их необходимо проверить.

• Точки стыка сложных функций
  Если внешняя функция накладывает дополнительные ограничения на вход, необходимо определить диапазон, в котором внутреннее выражение удовлетворяет этим ограничениям. Например,
  $f(x)=\sqrt{\ln x}$, требуется $\ln x \ge 0$ (то есть $x \ge 1$), и в точке $x=1$ проверяются односторонние пределы и значение функции.

Общий порядок определения

После определения точек-кандидатов для проверки анализ можно проводить по следующей схеме:

graph TD
    A[Вычислить левый предел] --> B[Вычислить правый предел]
    B --> C{Предел существует?}
    C -->|Да| D[Анализ разрыва первого рода]
    C -->|Нет| E[Анализ разрыва второго рода]

Более подробная классификация типов представлена на следующей схеме:

graph TD

    A[Проверяемая точка x_0] --> B{f(x_0) определена?}

    B -->|Не определена| C[Вычислить левый и правый пределы]
    B -->|Определена| C1[Вычислить левый и правый пределы]

    C --> D{Оба односторонних предела существуют?}
    C1 --> D{Оба односторонних предела существуют?}

    D -->|Нет| E{Возможно разрыв второго рода}
    E -->|Предел стремится к ∞| F[Бесконечный разрыв]
    E -->|Предел колеблется| G[Колебательный разрыв]

    D -->|Да| H{Левый и правый пределы равны?}
    H -->|Нет| I[Скачкообразный разрыв]

    H -->|Да| J{Левый/правый предел = f(x_0)?}
    J -->|f(x_0) не определено или не равно| K[Устранимый разрыв]
    J -->|Равно| L[Непрерывная точка]

Пример 1:
Проанализируем

$$f(x)=\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}$$

в точке $x=0$:

• Поскольку $f(0)$ не определено, сначала устанавливаем, что это точка разрыва.
• Вычисляем односторонние пределы: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.$$ Односторонние пределы не равны, значит, это скачкообразный разрыв.

Пример 2:
Определим

$$f(x) = x \cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)$$

в точке $x=0$:

• Исходная функция не определена в $x=0$, поэтому сначала устанавливаем разрыв.
• Однако по теореме о двух милиционерах:
  $-\lvert x\rvert \le x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \le \lvert x\rvert$,
  получаем
  $\lim_{x \to 0} x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = 0$.
• Если доопределить $f(0)=0$, функция станет непрерывной в $x=0$. Следовательно, начало координат - устранимая точка разрыва.

Особые случаи

• Точки стыка кусочно заданных функций
  Необходимо вычислить левый и правый пределы и сравнить со значением функции в точке стыка. Если все три равны, то функция непрерывна, иначе - разрыв.
  Пример:

  $$f(x)= \begin{cases} e^x, & x<0 \\\\ x+1, & x\ge 0 \end{cases}$$

  В точке $x=0$:
  $\lim_{x \to 0^-} e^x = 1$, $\lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$, $f(0)=1$,
  все три равны, следовательно, функция непрерывна.

• Существование производной и разрывы
  Если $f(x)$ дифференцируема в $x_0$, то она обязательно непрерывна в $x_0$.
  Однако функция может быть недифференцируемой в точке, но при этом непрерывной, например $f(x)=\lvert x\rvert$ в $x=0$ недифференцируема, но непрерывна.