Тригонометрические функции и их свойства

Тригонометрические функции

Стандартная форма

$$\begin{cases} \sin \theta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \\\\ \cos \theta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \\\\ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{cases}$$

Основные свойства

Синус $\sin(x)$

$$y = \sin x$$

• Период: $2\pi$
• Симметрия: нечётная функция
• Экстремумы: $\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi, 1 \right)$
• Нули: $k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

Косинус $\cos(x)$

$$y = \cos x$$

• Период: $2\pi$
• Симметрия: чётная функция
• Экстремумы: $(2k\pi, 1)$
• Нули: $\frac{\pi}{2}+k\pi$

Тангенс $\tan(x)$

$$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

• Период: $\pi$
• Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$
• Область значений: $\mathbb{R}$
• Особые точки: проходит через начало координат, центрально симметрична относительно периода

Ключевые свойства

Производные и интегралы

Функция	Производная	Интеграл
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$-\ln

Важные тождества

Пифагорово тождество:

$$\sin^2x + \cos^2x = 1$$

Формулы сложения:

$$\sin(a\pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$ $$\cos(a \pm b) = \cos{a} \cos{b} \mp \sin{a} \sin{b}$$

Сравнительный анализ функций

Свойство	Синус	Косинус	Тангенс
Начальное значение	0	1	0
Экстремумы	нечётные кратные $\pi/2$	чётные кратные $\pi$	нет
Периодичность	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
Асимптоты	нет	нет	есть

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Формулы приведения

Краткое описание

1. Разделить угол: представить целевой угол в виде $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$
2. Определить чётность: определить чётность $k$, решить, менять ли название функции
3. Определить квадрант: определить квадрант $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$, с учётом знака новой функции
4. Объединить результат: объединить знак и название функции для получения окончательного выражения

Основной принцип

Чётность меняет, нечётность не меняет: правило изменения названия функции

Когда угол имеет вид $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ ($k \in \mathbb{Z}$):

• Чётное меняет: если $k$ — нечётное, название тригонометрической функции заменяется на кофункцию (синус ↔ косинус, тангенс ↔ котангенс)
• Нечётное не меняет: если $k$ — чётное, название функции остаётся без изменений

Примеры:

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$: $k=1$ (нечётное), $\sin$ меняется на $\cos$ → $\cos\alpha$
2. $\cos(\pi + \alpha)$: $k=2$ (чётное), название не меняется → $\cos\alpha$
3. $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$: $k=3$ (нечётное), $\tan$ меняется на $\cot$ → $\cot\alpha$

Знак смотрим по квадранту: определение знака значения функции

Считая $\alpha$ острым углом, рассматриваем $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ как целый угол и определяем знак результата по его квадранту:

Правило знаков по квадрантам:

В первой четверти все положительны, во второй — только синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — косинус

Шаги определения:

1. Определить квадрант $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$
2. Определить знак новой функции в этом квадранте
3. Присвоить полученный знак результату упрощения

Примеры:

• $\cos\left(\pi + \alpha\right)$:

  1. Чётное, название не меняется
  2. $\pi + \alpha$ находится в третьей четверти
  3. Косинус в третьей четверти отрицателен
  4. Результат: $-\cos\alpha$

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$:

  1. Нечётное, название меняется
  2. $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в третьей четверти
  3. Синус в третьей четверти отрицателен
  4. Результат: $-\cos\alpha$

Примеры комплексного применения

Пример 1: Упростить $\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)$

1. Разделить угол: $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ → $k=5$ (нечётное)
2. Изменение названия: $\sin$ → $\cos$
3. Определение квадранта: $\frac{5\pi}{2} - \alpha$ в первой четверти, косинус положителен
4. Результат: $\cos\alpha$

Вывод:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$$

Пример 2: Вычислить $\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)$

1. Разделить угол: $\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}$ → $k=7$ (нечётное)
2. Изменение названия: $\tan$ → $\cot$
3. Определение квадранта: $\frac{7\pi}{2} + \alpha$ в четвёртой четверти, котангенс отрицателен
4. Результат: $-\cot\alpha$

Вывод формулы:

$$\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \tan\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot\alpha$$

Особые случаи

Углы, превышающие $2\pi$:

• Сначала взять угол по модулю $2\pi$, затем определить. Например, $\frac{9\pi}{2} - \alpha$ можно упростить до $\frac{\pi}{2} - \alpha + 4\pi$, то есть $k=9$ (нечётное)

Отрицательные углы:

• Использовать чётность/нечётность. Например, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (свойство нечётной функции)

Обратные тригонометрические функции

Стандартная форма

\begin{cases}
\theta = \arcsin\left(\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\right) \\
\theta = \arccos\left(\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\right) \\
\theta = \arctan\left(\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\right)
\end{cases}

Функция	Область определения	Область значений	Монотонность
$\arcsin x$	$[-1,1]$	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$	строго возрастает
$\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	строго убывает
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$	строго возрастает

Свойства основных функций

Арксинус $\arcsin(x)$

$$y = \arcsin x$$

• Область определения: $x \in [-1, 1]$
• Область значений: $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$
• Производная:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$

• Монотонность: строго возрастает
• Особые значения:
  • $\arcsin(0) = 0$
  • $\arcsin\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$

Арккосинус $\arccos(x)$

$$y = \arccos x$$

• Область определения: $x \in [-1, 1]$
• Область значений: $[0, \pi]$
• Производная:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$

• Монотонность: строго убывает
• Тождество:

$$\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$$

Арктангенс $\arctan(x)$

$$y = \arctan x$$

• Область определения: $\mathbb{R}$
• Область значений: $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$
• Производная:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$$

• Асимптоты: $y = \pm \frac{\pi}{2}$
• Симметрия:

$$\arctan(-x) = -\arctan x$$

Типичное применение:
При $x \to \infty$ $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$.
Формула интегрирования:

$$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C \quad (a > 0)$$

Графики и влияние параметров

На примере $\sin(x)$:

Основные параметры

Амплитуда:

$$y = A\sin x \quad \Rightarrow \quad \text{высота пика } |A|$$

Частота:

$$y = \sin \omega x \quad \Rightarrow \quad \text{период } T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Фазовый сдвиг:

$$y = \sin(x + \phi) \quad \Rightarrow \quad \text{сдвиг графика влево на } \phi$$

Пример комбинированной волны:

$$y = 2\sin(3x - \pi/4) \quad \text{характеристики: амплитуда 2, частота 3, сдвиг вправо на }\frac{\pi}{12}$$

Преобразования графиков

Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг)

Математическое выражение:

$$y = \sin(x + c)$$

• $c < 0$: график сдвигается вправо на $|c|$ единиц
• $c > 0$: график сдвигается влево на $|c|$ единиц
  Пример:

$$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad \text{исходная точка пика} \left(\frac{\pi}{2},1\right) \text{переходит в} (\pi,1)$$

Вертикальный сдвиг

Математическое выражение:

$$y = \sin x + d$$

• $d > 0$: график сдвигается вверх на $d$ единиц
• $d < 0$: график сдвигается вниз на $|d|$ единиц
  Пример:

$$y = \sin x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{максимум } 3 \text{, минимум } 1$$

Амплитудная модуляция

Математическое выражение:

$$y = A \sin x$$

• $|A| > 1$: вертикальное растяжение
• $0 < |A| < 1$: вертикальное сжатие
• $A < 0$: отражение относительно оси $x$
  Пример:

$$y = -3 \sin x \quad \Rightarrow \quad \text{амплитуда } 3 \text{, форма волны перевёрнута}$$

$$y = \frac{1}{2} \sin x \quad \Rightarrow \quad \text{амплитуда } \frac{1}{2} \text{, форма волны сжата по вертикали}$$

Изменение периода (частоты)

Математическое выражение:

$$y = \sin(Bx)$$

• Период: $T = \frac{2\pi}{|B|}$
• $|B| > 1$: сжатие по горизонтали (короче период)
• $0 < |B| < 1$: растяжение по горизонтали (длиннее период)
  Пример:

$$y = \sin(2x) \quad \Rightarrow \quad T = \pi \text{ (половина исходного периода } 2\pi \text{)}$$

$$y = \sin(\frac{1}{2}x) \quad \Rightarrow \quad T = 4\pi \text{ (вдвое больше исходного периода } 2\pi \text{)}$$

Отражения

1. Отражение относительно оси $x$
   Выражение:

   $$y = -\sin x \quad \Rightarrow \quad \text{все ординаты меняют знак}$$

   
   Пример:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \Rightarrow \quad -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

2. Отражение относительно оси $y$
   Выражение:

   $$y = \sin(-x) \quad \Rightarrow \quad \text{эквивалентно } -\sin x \ (\because \sin(-x) = -\sin x)$$

   
   Пример:

   $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Пример сложного преобразования

Пример функции:

$$y = 3 \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$$

1. Амплитуда: $3$
2. Период: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$
3. Фазовый сдвиг: $\frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$ (сдвиг вправо на $\frac{\pi}{8}$)
4. Вертикальный сдвиг: вверх на $1$ единицу

Итоговый эффект:

• Начальная точка с $(0,0)$ перемещается в $\left(\frac{\pi}{8},1\right)$
• Точка максимума: $\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4},4\right)$
• Точка минимума: $\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{4},-2\right)$