泰勒展开归纳

泰勒展开是用多项式函数逼近复杂函数的重要工具，其核心思想是在某一点附近用无限阶可导函数的各阶导数信息构造多项式近似。

定义

设函数在处阶可导，则泰勒多项式为：

其中指函数的阶导

当时，若余项，则得到泰勒级数：

特别地，当时称为 麦克劳林展开。

常用展开

以下是考研数学中常用到的泰勒展开式（麦克劳林展开式）:

仅在时可用

三角函数

指数函数

二项式展开

反三角函数

对数函数

可以通过对的麦克劳林展开式积分得到

常用展开推导

的展开

1. 计算各阶导数：

   • ，
   • ，
   • ，
   • ，
   • ，

2. 代入泰勒公式：
   

3. 化简：
   

的展开

1. 计算各阶导数：

   • ，
   • ，
   • ，
   • ，

2. 代入泰勒公式：
   

3. 化简：
   

的展开

分子（）：

分母（）：

由于是奇函数，其展开式仅含奇次项：

根据，将和的展开式相乘，并与的展开式对比系数：

最终得到的泰勒展开式：

的展开

1. 各阶导数：，
2. 直接代入泰勒公式：
   
3. 截断到五次项：
   

的展开

1. 计算各阶导数：

   • ，
   • ，

2. 代入泰勒公式：
   

3. 展开前五项：
   

的展开

1. 利用导数关系：
2. 展开被积函数：
3. 逐项积分：
   

的展开

1. 利用关系式：
2. 直接代入：
   

的展开

1. 利用导数关系：
2. 展开被积函数：
3. 逐项积分：
   

的展开

1. 利用导数关系：
2. 展开被积函数：
3. 逐项积分：
   

应用示例

求：