解析式的分类及部分运算：自下而上方法

解析式 是用数学公式明确表达变量之间关系的方式，常见于函数、几何图形等数学对象的定义。

概念结构如下：

flowchart TD
    解析式 --> 代数式
    解析式 --> 超越式

    代数式 --> 有理式
    代数式 --> 无理式

    有理式 --> 整式
    有理式 --> 分式

    整式 --> 单项式
    整式 --> 多项式

单项式

单项式 是由数字与变量的积组成的式子，其中数字叫 系数，变量的指数叫 次数，其中变量的指数必须为非负整数。例如、都是典型的单项式。

单项式的特征

• 系数：单项式中的数字因子。例如在中，系数为。
• 变量：表达式中的字母部分。如包含变量和。
• 次数（度）：所有变量指数的总和。例如：
  • 的次数为
  • 常数项的次数为

单项式示例	系数	变量	次数
	6	x,y	3
	-1	p	4
	π	r	2

单项式的运算

加、减法

仅同类项（相同变量及指数）可相加减

• 无法合并

乘法

系数相乘，变量指数相加：

除法

系数相除，变量指数相减：

多项式

多项式 是由多个 单项式 通过加减法构成的代数式，其中 次数最高的单项式次数 称为该多项式的次数，所含 不同变量种类数 称为元，单项式的个数 称为项数。例如是一元二次三项式，是二元二次三项式。

多项式的特征

• 项数：组成多项式的单项式数量
• 次数：各单项式次数中的最大值
• 元数：表达式中不同字母变量的种类数

多项式示例	次数	项数	元数
	3	3	1
	2	2	2
	4	1	1

多项式的运算

加、减法

合并同类项（变量及指数相同的项）

乘法

运用分配律逐项相乘：

特殊乘法公式

1. 平方差公式：
   

   • 应用示例：

2. 完全平方公式：
   

   • 应用示例：
   • 拓展：二项式定理

整式

单项式 和 多项式 统称为 整式。

分式

分式 是用表示的数式，其中、为整式，且 必须包含变量（即的次数不为）。当分母时，分式才有意义。例如、均为分式，而不是分式（分母为常数）。
且当 分子 的次数小于 分母 的次数时，称为 真分式；否则称 假分式。

分式的组成

• 分子：分式横线以上的整式
• 分母：分式横线以下的整式

分式示例	分子	分母	限制条件

分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以或除以同一个 非零整式，分式的值不变：

应用场景：

• 约分：消去分子分母的公因式
• 通分：化为同分母分式

分式的运算

加减法

同分母：直接加减分子
异分母：通分后加减

• 示例 1：同分母
  
• 示例 2：异分母
  

乘除法

乘法：分子乘分子，分母乘分母
除法：转化为乘倒数

• 乘法示例：
  
• 除法示例：
  

有理式

整式 和 分式 统称为 有理式。

有理式的计算（补充）

整式乘法

满足两种特殊条件则可以使用 系数竖式计算法；所有情况下都可以使用 竖式计算法。

系数竖式计算法

BG：当,为整式，且均只含同一字母。

假设：

1. 将,系数按降次排列，缺项补，写成两行，项多的写在第一行：
2. 竖式相乘，第二行每个系数乘以第一行每个系数，乘积结果对应排列：
3. 竖式相加： 得到：
   

BG：当,为整式，且均只含两个相同的字母。且可按某一字母降次、另一字母升次排列

假设：

将,系数按某一字母降次、另一字母升次排列，缺项补，写成两行，项多的写在第一行。其余同之前的计算：

得到：

竖式计算法

BG：所有情况都适用

假设：

则：

得到：

分式运算

化简有理分式可以用 多项式长除法 。

多项式长除法

BG： 先将被除式与除式作因式分解（如果可以的话）

假设：

则：

无理式

无理式 是代数式中包含 变量在根号内 的表达式，且根指数为 正整数。例如、均为无理式，而不是无理式（根号内不含变量）。无理式成立的前提是 被开方数为非负数（偶次根）或 允许全体实数（奇次根）。

无理式的组成

• 根指数：根号的左上角数字（默认二次根式不标注）
• 被开方式：根号内的代数式

无理式示例	被开方式	变量取值范围
		全体实数
		全体实数

无理式的基本性质

1. 根式化简：
   
   示例：，

2. 运算性质：

   • 乘方与开方互为逆运算：
   • 同次根式相乘：

无理式的运算

加减法

同类根式（根指数与根号内代数式均相同）才可合并

• 示例 1：同类根式
  
• 示例 2：非同类根式
  

乘除法

同次根式：直接应用根式运算法则
异次根式：先统一根指数再运算

• 乘法示例：
  
• 除法示例：
  

有理化

消除分母中的根号

• 单根式有理化：
  
• 双根式有理化（平方差法）：
  

注意事项

1. 定义域优先：运算前需明确变量取值范围，例如要求。
2. 最简形式：结果需满足：
   • 根号内不含分母
   • 根号内无平方因子（如）
3. 复合运算顺序：先化简再运算。

代数式

有理式 和 无理式 统称为 代数式。

超越式

超越式 是包含 非代数运算 的表达式，主要包括的运算有：

• 指数运算（变量位于指数位置，如）
• 对数运算（如）
• 三角函数（如）
• 反三角函数（如）

这类式子无法通过有限次代数运算（加、减、乘、除、开方）转化为多项式或分式形式。

超越式的组成

类型	关键元素	示例	限制条件
指数型	底数、指数变量		底数且
对数型	底数、真数变量		真数，底数且
三角型	角度变量、三角函数符号
反三角型	变量、反三角函数符号

超越式的基本性质

1. 不可代数化简性：
   超越式一般无法通过代数操作消除非代数运算符号。

   • 例如：无法简化为多项式

2. 运算封闭性：
   超越式之间的组合通常仍为超越式（如）。

3. 特殊运算规则：

   • 指数律：
   • 对数律：
   • 三角恒等式：

超越式的运算

加减法

一般无法合并简化，需保留原式

• 示例：
  

乘除法

部分类型可通过公式转化

• 指数型相乘：
  
• 对数型相除：
  

复合运算

嵌套超越函数需注意定义域

• 示例：
  

解析式

代数式和超越式统称为解析式。