泰勒级数法与莱布尼兹公式法在求高阶导数中的应用

本文以函数为例，详细讲解如何利用 泰勒级数法 和 莱布尼兹公式法 计算（），并分析两种方法的等价性。

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题目

设，则当时，

泰勒级数法

核心思想

将函数展开为泰勒级数，通过幂级数的系数直接读出高阶导数值。

具体步骤

1. 展开
   已知在内的泰勒展开为：
   

2. 构造的级数形式
   将与上述级数相乘：
   
   通过变量替换（即），级数改写为：
   

3. 提取项的系数
   当时，项的系数为。根据泰勒公式：
   

示例验证（）

计算：

直接求导验证：

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莱布尼兹公式法

核心思想

利用乘积函数的高阶导数公式：

具体步骤

1. 分解函数
   设，。

2. 分析的高阶导数

   • ，在处为。
   • ，在处为。
   • ，在处为。
   • 当时，。

3. 计算的高阶导数
   ，在处：
   

4. 应用莱布尼兹公式
   由于仅在时非零，因此：
   
   代入具体值：
   

示例验证（）

计算：

泰勒公式验证：

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结果统一性

两种方法的结果等价：

证明：

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Q&A

Q1：泰勒级数法中，变量替换后，为什么等式两边的幂次相等？

A：替换仅改变了求和索引的标记方式，不改变级数的数学内容。原级数中的幂次由决定，替换后直接写成，因此的幂次保持一致。

Q2：莱布尼兹公式中，为什么只有的项对结果有贡献？

A：因为的高阶导数在时为零，而时，唯一非零项来自。

Q3：泰勒级数法的收敛范围是否影响结果？

A：泰勒级数在内收敛，但求仅依赖处的局部性质，因此展开式在计算高阶导数时有效。

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结论

当时，函数在处的阶导数为：