解析式在区间上的连续性判断

单项式与多项式的全局连续性

单项式（如）和多项式（如）的连续性具有一个鲜明的特征：它们在 整个实数域上连续。这一性质源于：

1. 基本构成单元的连续性：幂函数和常数函数均在其定义域内连续；
2. 运算封闭性：连续函数的加法、乘法保持连续性。
   例如，二次多项式在任意区间内：

• 对任意内点，满足；
• 闭区间端点满足单侧极限：
  
  关键结论：无需单独验证多项式和单项式在具体区间的连续性，其在整个定义域内天然连续。

基本初等函数的连续性特征

基本初等函数及其连续区间如下：

1. 幂函数（）：

   • 当为整数或分母为奇数的分数时，定义域为；
   • 当为分母为偶数的分数时，定义域为，例如在连续。

2. 指数函数（）：在连续。

3. 对数函数（）：在连续。

4. 三角函数：

   • 和在连续；
   • 在处连续；
   • 和分别在分母非零时连续。

5. 反三角函数：如在连续，在连续。

示例验证：

• 的连续区间是，因对数函数要求；
• 在连续，因根式内需非负。

复合函数的连续性与判定技巧

复合函数的连续性需满足：

1. 内层函数在区间上连续；
2. 外层函数在的值域上连续。

示例：

• 的连续性为，因内层函数在连续，而外层函数在所有实数连续；
• 的连续区间为，的连续性要求，而在全体实数连续。

分段函数与特殊结构函数的连续性处理

对含特殊结构的分段函数或表达式，需特别关注：

1. 分段点的连续性：

   • 分界点处需满足左右极限存在且等于函数值。
     例如：
     
     在处：
   • 右极限；
   • 左极限；
     由于左右极限不等，处不连续。

2. 分母与根式的特殊处理：

   • 函数在处无定义，需排除此点；
   • 的连续区间为。

实用技巧与总结

1. 初等函数组合法则：初等函数通过四则运算、复合、多项式组合生成的函数，在其定义域内连续。
2. 定义域先行检查：函数若含分母、根号、对数等结构，首需明确其自然定义域。
3. 分界点与特殊点验证策略：
   • 分段函数重点验证分界点处的极限；
   • 复合函数的间断可能由内层函数或外层函数引发。

总结：函数区间连续性的本质是对极限存在的判断。通过拆分初等成分、明确定义域边界、单独验证分界点，可系统解决绝大多数连续性问题。