函数有界性的判断

定义

设有函数在定义域上有定义，若存在实数，使得对任意都满足：

则称在上为 有界函数。这个定义包含两个关键要素：

1. 存在上界和下界
2. 对所有定义域内的自变量都成立

典型示例：

• 是全局有界函数（）
• 在上有界（）
• 反例：在区间无界

常用性质

加法：有界函数之和仍为有界函数
例：仍满足

乘法：有界函数之积保持有界
例：满足

除法：当分母不趋近零时保持有界
反例：在处无界

连续特性： 在闭区间上连续的实函数必定有界（极值定理的直接推论）

判定方法

基本判定

1. 定义验证法：寻找满足的实数
   例：证明有界
   解：利用不等式

2. 极限分析法：
   若存在有限值，则在的某邻域内有界

3. 导数判据：
   当导数满足时，若定义域有界则有界
   （注：需结合微分中值定理使用）

特殊技巧

• 周期函数：连续周期函数必为全局有界函数
• 震荡函数：需注意看似震荡的函数是否真正有界
  反例：在附近无界

典型例题

证明的有界性
解：
观察分子分母关系：

取即满足有界性定义

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判断在上的有界性
分析：
虽然有界，但无界：

取特殊序列：

故函数无界

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研究分段函数

在上的有界性

解：
当时：

当时，故在整个区间上

常见误区

1. 导数有界则函数有界：错误
   反例：在上导数为1有界，但函数本身无界

2. 无限区间必无界：错误
   例：在上有界

3. 震荡必导致有界：错误
   反例：无界