函数奇偶性的判断

函数奇偶性是分析函数对称性的重要工具，主要分为 偶函数 和 奇函数 两类。

定义

偶函数
满足的函数，图像关于 轴对称。例如：

奇函数
满足的函数，图像关于 原点对称。例如：

唯一既是偶函数又是奇函数的函数是零函数。

运算性质

加减法规则

运算类型	结果性质
偶函数 + 偶函数	偶函数
奇函数 + 奇函数	奇函数
偶函数 + 奇函数	非奇非偶（零函数除外）

示例

• 是偶函数
• 是奇函数
• 非奇非偶

乘除法规则

运算类型	结果性质
偶函数 × 偶函数	偶函数
奇函数 × 奇函数	偶函数
偶函数 × 奇函数	奇函数

示例

• 是偶函数
• 是偶函数
• 是奇函数

复合函数的奇偶性规则

复合函数的奇偶性遵循 “内偶则偶，内奇则外” 的规则：

1. 内层为偶函数时：无论外层函数奇偶性，复合函数均为偶函数。

   • 例：（外层偶，内层偶 → 偶函数）
   • 例：（外层奇，内层偶 → 偶函数）

2. 内层为奇函数时：复合函数的奇偶性由外层函数决定。

   • 外层为偶函数 → 复合函数为偶：
     （外层偶，内层奇 → 偶函数）
   • 外层为奇函数 → 复合函数为奇：
     （外层奇，内层奇 → 奇函数）

综合应用示例

示例 1：判断的奇偶性

• 是偶函数（指数函数与偶次幂组合）
• 是奇函数（奇函数复合奇函数）
• 偶函数 × 奇函数 → 奇函数

示例 2：简化

利用奇偶性化简：