関数が定義域内のある点で連続でないとき、その点を 不連続点 という。極限の存在性の特徴に基づき、不連続点は通常次の2類4型に分類される。

第一種不連続点

第一種不連続点とは、左右極限がともに存在するが連続条件を満たさない点であり、除去可能不連続点 と 跳躍不連続点 を含む。

• 除去可能不連続点
  判定条件：

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L \neq f(x_0) \quad\text{または } f(x_0)\text{ が未定義}$$

  修正方法：
  $f(x_0)=L$ と再定義すれば、関数は $x_0$ で連続になる。
  典型例：

  $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\\\ 0, & x = 0 \end{cases}$$

  
  $x=0$ において：

  $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad\text{しかし } f(0) = 0$$

  よって $x=0$ は除去可能不連続点である。

• 跳躍不連続点
  判定条件：

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1 \quad\text{かつ}\quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2 \quad\text{ただし } L_1 \neq L_2$$

  修復不可能性：
  跳躍量 $\Delta = \lvert L_2 - L_1\rvert$ は $f(x_0)$ の再定義では除去できない。
  区分的関数の例：

  $$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 1 \\\\ x^2, & x \leq 1 \end{cases}$$

  
  $x=1$ において：

  $$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$$

  両側の極限が等しくないため、跳躍不連続点である。

第二種不連続点

第二種不連続点とは、少なくとも片側の極限が存在しないか、極限が「存在」しても無限大となる点であり、無限不連続点 と 振動不連続点 を含む。

• 無限不連続点
  判定特徴：

  $$\lim_{x \to x_0} \lvert f(x)\rvert = +\infty$$

  このとき関数のグラフは $x_0$ の近くで垂直漸近線を示す。
  典型例：

  $$f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$$

  
  $x=2$ において：

  $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$$

• 振動不連続点
  判定特徴：
  ある点で極限が有限区間内で無限回振動し、有限値に収束せず、無限大にもならない。
  例の分析：

  $$f(x) = \sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)$$

  
  $x \to 0$ のとき、$\frac{1}{x}$ は有界なく増大し、$\sin\bigl(\frac{1}{x}\bigr)$ は $[-1,1]$ の区間内で無限に振動する。左右の極限がともに存在しないため、$x=0$ は振動不連続点である。

重要な位置と判断方法

関数の不連続点を判断する際には、通常以下のような $x$ の値に重点的に注目する必要がある。これらの位置は不連続点が発生する可能性のある箇所である。

• 定義域の境界点
  例えば $f(x)=\sqrt{x}$ の定義域は $[0,\infty)$ であり、$x=0$ では関数は右側のみ定義されているため、$\lim_{x \to 0^+} f(x)$ を調べる必要がある。関数に他のより小さい区間がある場合は、状況に応じて片側極限を判断する。

• 区分的関数の接続点
  関数が区分的に与えられている場合

  $$f(x) = \begin{cases} g(x), & x < a \\\\ h(x), & x \ge a \end{cases}$$

  $x=a$ において、
  $\lim_{x \to a^-} g(x)$、$\lim_{x \to a^+} h(x)$ および関数値 $f(a)$ の三者間の関係を調べなければならない。

• 分母の零点（有理関数）
  $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ の場合、まず方程式 $Q(x)=0$ を解く。$Q(x_0)=0$ を満たす点 $x_0$ については、$P(x_0)$ も 0 であるかどうかを確認する。

  • $P(x_0)\neq 0$ であれば、通常は無限不連続点
  • $P(x_0)=0$ であれば、まず約分してから判断する。例えば $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},$$ $x=1$ で約分すると $f(x)=x+1$（$x \neq 1$）となり、この点が除去可能不連続点であることがわかる。

• 特殊な関数構造の点

関数タイプ	調べるべき $x$ の値	代表的な不連続タイプ
対数関数	$\ln[g(x)]$ において $g(x)\leq 0$	第二種不連続点
正接関数	$\tan[g(x)]$ において $g(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi$	無限不連続点
絶対値関数	$\lvert x-a\rvert$ の $x=a$	通常は連続（微分可能性の変化）

• 極限振動点
  関数に $\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$、$\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$ などの「高周波」振動構造が含まれる場合、ある点（多くは $x=0$）で無限振動が発生することがあるため、重点的に調べる必要がある。

• 合成関数の接続点
  外側の関数が入力に追加の制限を課す場合、内側の式がその制限を満たす範囲を特定する必要がある。例えば
  $f(x)=\sqrt{\ln x}$ の場合、$\ln x \ge 0$（すなわち $x \ge 1$）を保証し、$x=1$ で片側極限と関数値を検証する。

総合判断手順

調べるべき候補点を特定した後、以下のフローに従って分析を行うことができる：

graph TD
    A[左極限を計算] --> B[右極限を計算]
    B --> C{極限は存在するか?}
    C -->|はい| D[第一種不連続の分析]
    C -->|いいえ| E[第二種不連続の分析]

より詳細なタイプ判別については、以下の図を参照のこと：

graph TD

    A[調査点 x_0] --> B{f x_0 は定義されているか？}

    B -->|未定義| C[左右極限を計算]
    B -->|定義済み| C1[左右極限を計算]

    C --> D{左右極限はともに存在するか？}
    C1 --> D{左右極限はともに存在するか？}

    D -->|いいえ| E{第二種不連続の可能性}
    E -->|極限が∞に発散| F[無限不連続点]
    E -->|極限が振動| G[振動不連続点]

    D -->|はい| H{左右極限は等しいか？}
    H -->|いいえ| I[跳躍不連続点]

    H -->|はい| J{左右極限 = f x_0 ？}
    J -->|f x_0 が未定義または異なる| K[除去可能不連続点]
    J -->|等しい| L[連続点]

例1：

$$f(x)=\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}$$

の $x=0$ における不連続性の分析：

• $f(0)$ が未定義のため、まず不連続点と判定される。
• 片側極限を計算： $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.$$ 左右極限が等しくないため、跳躍不連続点に該当する。

例2：

$$f(x) = x \cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)$$

の $x=0$ における判断：

• 元の関数は $x=0$ で明確に定義されていないため、まず不連続と判定される。
• ところが、はさみうちの定理により：
  $-\lvert x\rvert \le x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \le \lvert x\rvert$、
  から
  $\lim_{x \to 0} x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = 0$ が得られる。
• $f(0)$ を 0 と補充定義すれば、$x=0$ で連続にできる。したがって原点は除去可能不連続点である。

特殊な場合の処理

• 区分的関数の接続点
  左極限と右極限をそれぞれ計算し、接続点の関数値と比較する。三者が等しければ連続、そうでなければ不連続点となる。
  例：

  $$f(x)= \begin{cases} e^x, & x<0 \\\\ x+1, & x\ge 0 \end{cases}$$

  $x=0$ において：
  $\lim_{x \to 0^-} e^x = 1$、$\lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$、$f(0)=1$、
  三者が等しいため連続。

• 微分可能性と不連続
  $f(x)$ が $x_0$ で微分可能ならば、$x_0$ で連続である。
  しかし、関数がある点で微分不可能であっても必ずしも不連続とは限らない。例えば $f(x)=\lvert x\rvert$ は $x=0$ で微分不可能だが、関数は連続である。