微分の本質

導関数の記法

ラグランジュ（Lagrange）の記法

関数記号にプライムを付けて導関数を表す。$y = f(x)$ のとき：

$$f'(x_0) \quad \text{または} \quad y'$$

特徴：

• 関数名と直接結びつき、関数と導関数の対応関係を理解しやすい
• 高次導関数はプライムの数で表す：二階導関数は $f''(x)$、三階導関数は $f'''(x)$
  例：
  $f(x) = x^3$ の導関数は：

$$f'(x) = 3x^2 \\ f''(x) = 6x$$

適用場面：

• 陽関数表現（例：$f(x) = \sin x$）
• 理論証明と公式導出

ライプニッツ（Leibniz）の記法

微分記号を用いて導関数を表す。$y = f(x)$ のとき：

$$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0} \quad \text{または} \quad \frac{d}{dx}f(x)$$

特徴：

• 導関数が微分の比の極限であることを直感的に示す
• 高次導関数は指数で表す：二階導関数は $\frac{d^2y}{dx^2}$
  連鎖律の例：
  $y = \sin(u)$、$u = x^2$ のとき：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

適用場面：

• 陰関数方程式（例：$x^2 + y^2 = 1$）
• 多変数微積分と物理方程式

ニュートン（Newton）の記法

変数の上に点を付けて時間微分を表す。変位を $s(t)$ とすると：

$$\dot{s} = \frac{ds}{dt}, \quad \ddot{s} = \frac{d^2s}{dt^2}$$

特徴：

• 記号が簡潔で、特に時間微分に適する
• 三階以上は複数の点で表す（例：$\dddot{s}$ は三階導関数）
  運動学の例：
  自由落下運動 $s(t) = \frac{1}{2}gt^2$ のとき：

$$\dot{s} = gt \quad (\text{速度}) \\ \ddot{s} = g \quad (\text{加速度})$$

適用場面：

• 古典力学と動力学の問題
• 微分方程式系（例：振動系 $\ddot{x} + \omega^2x = 0$）

比較と選択の原則

記法	利点	限界
ラグランジュ	関数関係が明確	高次導関数の記号が冗長
ライプニッツ	微分の本質を直感的に反映	非分数性に注意が必要
ニュートン	時間微分の表現に効率的	単変数の時間関数にのみ適用可能

例えば熱伝導方程式では、異なる記法を混在させる方が効率的：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T \quad (\text{ライプニッツ空間微分 + ニュートン時間微分})$$

定義

関数の導関数は、独立変数の増分がゼロに近づくときの、関数の増分と独立変数の増分の比の極限として定義される。数学的表現は：

\begin{eqnarray} f'(x_0) & = & \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\\\ f'(x_0) & = & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray}

極限が存在するとき、関数 $y = f(x)$ は $x_0$ で微分可能であるといい、この極限を $y = f(x)$ の点 $x_0$ における導関数と呼ぶ。

本質的に、導関数の定義は極限の問題である

定義式からわかるように、導関数は 関数値の変化量 と 独立変数の変化量 の比を通じて変化の速さの傾向を調べるものである。

「グラフの観点からは、導関数は関数 $y = f(x)$ の $x = x_0$ における接線の傾きである」

検証：関数 $y = \ln{x} + 1$ の $x = 1$ における接線の傾きは $1$ である。よって接線は $y - 1 = 1 \cdot (x - 1)$

ここで $f'(x)$ は $x = 1$ のとき確かに $1$ である

より厳密に証明するにはどうするか？

この図例では、$\Delta x \to 0$ のとき、点 $(x_0，f(x_0))$ と $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$ の間は直線に近づく。この直線の傾きは：

$$k = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{x_0 + \Delta x - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

見覚えがあるだろう？

微分法の法則

基本初等関数の微分公式

関数の種類	微分公式
定数関数	$(C)' = 0$
べき関数	$(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}$
指数関数	$(a^x)' = a^x \ln a$
自然指数関数	$(e^x)' = e^x$
対数関数	$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
自然対数関数	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
正弦関数	$(\sin x)' = \cos x$
余弦関数	$(\cos x)' = -\sin x$

基本初等関数の微分公式はもちろん導関数の定義式から計算できるよ～

演算

加減法則

$$(u \pm v)' = u' \pm v'$$

積の法則

$$(uv)' = u'v + uv'$$

商の法則

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

ただし $u,v$ は基本初等関数

連鎖律

合成関数の場合、連鎖律を用いて微分する：

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

連鎖律は、合成関数の導関数が、外側の関数を内側の関数で微分したものに内側の関数の導関数を掛けたものであることを示す。直感的には、変化率の変化率は各変化率の積に等しい。

基本手順：

1. 合成関数の外側の関数と内側の関数を特定する
2. 外側の関数の導関数を求め、内側の関数はそのままにする
3. 内側の関数の導関数を求める
4. 二つの導関数を掛けて最終結果を得る

例1：$y = \sin(2x)$ の導関数を求める

解説：$u = 2x$ とおくと、$y = \sin u$

• 外側の関数の導関数：$\frac{dy}{du} = \cos u$
• 内側の関数の導関数：$\frac{du}{dx} = 2$
• 連鎖律を適用：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x)$

例2：$y = (3x + 2)^2$ の導関数を求める

解説：$u = 3x + 2$ とおくと、$y = u^2$

• 外側の関数の導関数：$\frac{dy}{du} = 2u$
• 内側の関数の導関数：$\frac{du}{dx} = 3$
• 連鎖律を適用：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 3 = 6(3x + 2)$

例3：$y = e^{3x^2+2}$ の導関数を求める

解説：$u = 3x^2+2$ とおくと、$y = e^u$

• 外側の関数の導関数：$\frac{dy}{du} = e^u$
• 内側の関数の導関数：$\frac{du}{dx} = 6x$
• 連鎖律を適用：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 6x = 6x e^{3x^2+2}$

多重合成関数の連鎖律

多重に嵌套された合成関数の場合、連鎖律を連続的に適用する：

$$\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

例：$y = \ln\sqrt{x}$ の導関数を求める

解説：$y = \ln(x^{1/2})$ と見なせる

• $u = x^{1/2}$ とおくと、$y = \ln u$
• 外側の関数の導関数：$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$
• 内側の関数の導関数：$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$
• 連鎖律を適用：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2x}$

性質

微分可能条件

関数 $y = f(x)$ について、$x = x_0$ のとき、両側の導関数：

$$\begin{align} \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} & = f'_{+}(x_0) \\\\ \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} & = f'_{-}(x_0) \end{align}$$

ここで、$f'_{+}(x_0)$、$f'_{-}(x_0)$ はそれぞれ $f(x)$ の $x = x_0$ における右側導関数、左側導関数であり、片側導関数と総称される。
このとき、関数 $y = f(x)$ について、$x = x_0$ において片側導関数が存在し等しいとき：

$$f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0)$$

$f'(x)$ が存在し、片側導関数の値に等しい。（必要十分条件）

微分可能性と連続性の関係

上記の説明から、微分可能性と連続性を比較したくなることは容易に想像できる。これらの性質の定義は似ているではないか？

連続性
関数 $f(x)$ が $x = x_0$ で連続であるとき：
$f(x) = \lim_{x \to {x_0}^+}f(x) = \lim_{x \to {x_0}^-} f(x)$
微分可能性
関数 $f(x)$ が $x = x_0$ で微分可能であるとき：
$f'(x) = f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0)$

超実数系の視点から見た関数の極限 の記事で述べたように、超実数の視点から関数の極限をよりよく理解できる。同様に、微分可能性もよりよく理解できる。

ここでまず連続性を補足する：

関数 $f(x)$ が $x = x_0$ で連続であるための必要十分条件は

$$\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{ を満たし、} |x - x_0| < \delta \text{ のとき } |f(x) - f(x_0)| < \epsilon.$$

すなわち、$x_0$ を中心とする近傍内のすべての超実数は、核を取る操作の結果が実数 $f(x_0)$ となる。
連続区間は実数から構成されるが、これらの実数は超実数モデルにおいて無限に近い超実数を伴う。連続性は超実数の視点では、無限小の摂動に対する関数値の安定性として現れ、空間の「シームレスな接続」ではない。

明らかに、関数の連続性の定義：$f(x) = \lim_{x \to {x_0}^+}f(x) = \lim_{x \to {x_0}^-} f(x)$ の実際の意味は、関数 $f(x)$ が $x_0$ で連続であるとは、$x_0$ に無限に近いすべての超実数 $x$ に対して $f(x)$ が $f(x_0)$ に無限に近いことを意味する。連続性は局所的な性質であり、関数が区間上で連続であるためには各点で個別に検証する必要がある。そのためよく見かける記述は「関数が某区間で いたるところ連続」である。

では、関数の微分可能性について引き続き見ていこう。
導関数の定義：

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

この極限が意味を持つとき、関数は微分可能であるという。すなわち：

$$f'(x_0) \not= \infty$$

$f'(x_0) = 0$ の場合、分子は分母よりも高次の無限小である。つまり $f(x) - f(x_0)$ は $x - x_0$ よりも強く0に近づく。
関数が $x = x_0$ で連続であるという式は、実は $f(x) - f(x_0)$ が0に近づくことである。
微分可能性が要求する条件は連続性よりも多く、より厳しい：$f(x) - f(x_0)$ は $x - x_0$ よりも強く0に近づく必要がある。

$f'(x_0) = a, a \in \mathbb{R}$ の場合、分子は分母と同次の無限小である。
この場合も微分可能性が要求する条件は連続性よりも多く、より厳しい：$f(x) - f(x_0)$ は $x - x_0$ と同次の無限小である必要がある。

したがって、次の結論が得られる：

$$\begin{align} f(x_0)が微分可能 \Rightarrow f(x_0)は連続 \\\\ f(x_0)が連続 \not\Rightarrow f(x_0)は微分可能 \end{align}$$

元の関数とその絶対値関数の連続性、微分可能性の分析

連続性

元の関数 $f(x)$ が定義域内でいたるところ連続であると仮定する。
$f(x)$ について、値の範囲に基づいて以下の3つの可能なケースに分類できる：

$\mid f(x) \mid$ については、対応するケースは：

明らかに、$f(x)$ が某点で連続であれば、$\mid f(x) \mid$ もその点で必ず連続である。（絶対値を取っても近傍内の超実数は依然としてその実数点に近づく）
では、$\mid f(x) \mid$ が某点で連続であれば、$f(x)$ もその点で連続であると言えるか？

結論：

$$\begin{align} f(x_0)が連続 & \Rightarrow \mid f(x_0) \mid が連続 \\\\ \mid f(x_0) \mid が連続 & \not\Rightarrow f(x_0)が連続 \end{align}$$

微分可能性

$f(x)$ について、値の範囲に基づいて以下の3つの可能なケースに分類できる：

$\mid f(x) \mid$ については、対応するケースは：

微分可能性については先ほど述べたように、連続性よりも条件が厳しく、$f(x) - f(x_0)$ が $x - x_0$ よりも強く0に近づく必要がある。

このケースは連続性を満たすが、$f'(x) = f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0)$ は満たさない。
結論：

$$\begin{cases} f(x_0) が微分可能 \\\\ f(x_0) \not= 0 \end{cases} \Rightarrow \mid f(x_0) \mid が微分可能$$ $$\begin{cases} f(x_0) が微分可能 \\\\ f(x_0) = 0 \\\\ f'(x_0) \not= 0 \end{cases} \Rightarrow \mid f(x_0) \mid が微分可能でない$$

$f(x_0) = 0, f'(x_0) = 0$ のとき、グラフは $x$ 軸と重なり、$\mid f'(x_0) \mid = 0$

必要性については上の連続性の証明で述べた通りなので省略する。
次のようにまとめられる：

$$f(x_0)が微分可能 \not\Leftrightarrow \mid f(x_0) \mid が微分可能$$

導関数と元の関数の間の偶奇性関係

ここで結論を先に示す：

$$\begin{cases} f(x) が微分可能な偶関数ならば、f'(x) は奇関数 \\\\ f(x) が微分可能な奇関数ならば、f'(x) は[偶関数](Library/Math/inner/函数/奇偶性/偶函数.md) \end{cases}$$

証明：
$f(x) が微分可能な偶関数ならば、f'(x) は奇関数$

$$\begin{array}{c} f'(x) & = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ f'(-x) & = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(-x + \Delta x) - f(-x)}{\Delta x} \\\\ & = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ & = & \lim_{- \Delta x \to 0} \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{- \Delta x} \\\\ & = & -f'(x) \end{array}$$

$f(x) が微分可能な奇関数ならば、f'(x) は偶関数$ の証明は上記と同様なので省略する。