三角関数とその性質

三角関数

標準形

$$\begin{cases} \sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} \\\\ \cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} \\\\ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{cases}$$

基本特性

正弦関数 $\sin(x)$

$$y = \sin x$$

• 周期：$2\pi$
• 対称性：奇関数
• 極値点：$\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi, 1 \right)$
• 零点：$k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

余弦関数 $\cos(x)$

$$y = \cos x$$

• 周期：$2\pi$
• 対称性：偶関数
• 極値点：$(2k\pi, 1)$
• 零点：$\frac{\pi}{2}+k\pi$

正接関数 $\tan(x)$

$$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

• 周期：$\pi$
• 漸近線：$x = \frac{\pi}{2}+k\pi$
• 値域：$\mathbb{R}$
• 特殊点：原点を通り、周期中心対称

核心性質

導関数と積分

関数	導関数	積分
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$-\ln\cos x+ C$

重要恒等式

ピタゴラスの恒等式：

$$\sin^2x + \cos^2x = 1$$

加法定理：

$$\sin(a\pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$ $$\cos(a \pm b) = \cos{a} \cos{b} \mp \sin{a} \sin{b}$$

関数比較分析

特性	正弦関数	余弦関数	正接関数
初期値	0	1	0
極値点	奇数回 $\pi/2$	偶数回 $\pi$	無
周期性	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
漸近線	無	無	有

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

還元公式

概説

1. 角度の分割：目標角を $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ の形で表す
2. 奇偶の判定：$k$ の奇偶を判定し、関数名を変えるかどうか決定
3. 象限の特定：$\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ の象限を特定し、新関数の符号を判断
4. 結果の統合：符号と関数名を組み合わせて最終式を得る

核心原理の解析

奇変偶不変：関数名の変換規則

角度が $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$（$k \in \mathbb{Z}$）の場合：

• 奇変：$k$ が 奇数 なら、三角関数名は 余関数 に変わる（正弦↔余弦、正接↔余接）
• 偶不変：$k$ が 偶数 なら、関数名は 変わらない

例示分析：

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$：$k=1$（奇）、$\sin$ が $\cos$ に変わる → $\cos\alpha$
2. $\cos(\pi + \alpha)$：$k=2$（偶）、名前不変 → $\cos\alpha$
3. $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$：$k=3$（奇）、$\tan$ が $\cot$ に変わる → $\cot\alpha$

符号は象限を見る：関数値の符号判定

$\alpha$ を鋭角と仮定し、$\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ を一つの角とみなし、その象限で結果の符号を決定：

象限符号の口訣：

一全正、二正弦、三双切、四余弦

判定手順：

1. $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ の象限を特定
2. 象限に基づいて新関数の符号を判断
3. 符号を簡約結果に付与

例示解析：

• $\cos\left(\pi + \alpha\right)$：

  1. 偶不変
  2. $\pi + \alpha$ は第三象限
  3. 第三象限の余弦は負
  4. 結果は $-\cos\alpha$

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$：

  1. 奇変
  2. $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ は第三象限
  3. 第三象限の正弦は負
  4. 結果は $-\cos\alpha$

総合応用例

例 1：$\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)$ の簡約

1. 角度の分割：$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ → $k=5$（奇）
2. 関数名変換：$\sin$ → $\cos$
3. 象限判定：$\frac{5\pi}{2} - \alpha$ は第一象限、余弦は正
4. 結果：$\cos\alpha$

導出過程：

$$\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$$

例 2：$\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)$ の計算

1. 角度の分割：$\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}$ → $k=7$（奇）
2. 関数名変換：$\tan$ → $\cot$
3. 象限判定：$\frac{7\pi}{2} + \alpha$ は第四象限、余接は負
4. 結果：$-\cot\alpha$

公式導出：

$$\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \tan\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot\alpha$$

特殊ケースの処理

角度が $2\pi$ を超える場合：

• 先に角度を $2\pi$ で剰余をとってから判定。例えば $\frac{9\pi}{2} - \alpha$ は $\frac{\pi}{2} - \alpha + 4\pi$ と簡約でき、$k=9$（奇）

負の角度の処理：

• 奇偶性を利用して変換。例えば $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$（奇関数の特性）

逆三角関数

標準形

\begin{cases}
\theta = \arcsin\left(\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\right) \\
\theta = \arccos\left(\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\right) \\
\theta = \arctan\left(\dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}\right)
\end{cases}

関数	定義域	値域	単調性
$\arcsin x$	$[-1,1]$	$[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	狭義増加
$\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	狭義減少
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	狭義増加

基本関数特性

逆正弦関数 $\arcsin(x)$

$$y = \arcsin x$$

• 定義域：$x \in [-1, 1]$
• 値域：$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$
• 導関数：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$

• 単調性：狭義単調増加
• 特殊値：
  • $\arcsin(0) = 0$
  • $\arcsin\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$

逆余弦関数 $\arccos(x)$

$$y = \arccos x$$

• 定義域：$x \in [-1, 1]$
• 値域：$[0, \pi]$
• 導関数：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$

• 単調性：狭義単調減少
• 恒等式：

$$\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$$

逆正接関数 $\arctan(x)$

$$y = \arctan x$$

• 定義域：$\mathbb{R}$
• 値域：$\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$
• 導関数：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$$

• 漸近線：$y = \pm \frac{\pi}{2}$
• 対称性：

$$\arctan(-x) = -\arctan x$$

典型的応用：
$x \to \infty$ のとき、$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$
積分公式：

$$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C \quad (a > 0)$$

グラフとパラメータの影響

$sin(x)$ を例に：

基本パラメータ

振幅変調：

$$y = A\sin x \quad \Rightarrow \quad \text{波の高さ} |A|$$

周波数変化：

$$y = \sin \omega x \quad \Rightarrow \quad \text{周期} T = \frac{2\pi}{\omega}$$

位相移動：

$$y = \sin(x + \phi) \quad \Rightarrow \quad \text{グラフを左に}\phi\text{移動}$$

複合波形例：

$$y = 2\sin(3x - \pi/4) \quad \text{特性：振幅2、周波数3、右へ}\frac{\pi}{12}\text{移動}$$

グラフ変換

水平移動（位相移動）

数学表現：

$$y = \sin(x + c)$$

• $c < 0$：グラフを 右に $c$ 単位移動
• $c > 0$：グラフを 左に $|c|$ 単位移動
  例：

$$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad \text{元の波頂点} \left(\frac{\pi}{2},1\right) \text{が} (\pi,1) \text{に変化}$$

垂直移動

数学表現：

$$y = \sin x + d$$

• $d > 0$：グラフを 上に $d$ 単位移動
• $d < 0$：グラフを 下に $|d|$ 単位移動
  例：

$$y = \sin x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{波頂値} 3 \text{、波底値} 1$$

振幅変調

数学表現：

$$y = A \sin x$$

• $|A| > 1$：縦方向に拡大
• $0 < |A| < 1$：縦方向に圧縮
• $A < 0$：$x$ 軸に関して反転
  例：

$$y = -3 \sin x \quad \Rightarrow \quad \text{振幅 } 3 \text{、波形反転}$$

$$y = \frac{1}{2} \sin x \quad \Rightarrow \quad \text{振幅 } \frac{1}{2} \text{、波形縦方向に圧縮}$$

周期調整（周波数変化）

数学表現：

$$y = \sin(Bx)$$

• 周期：$T = \frac{2\pi}{|B|}$
• $|B| > 1$：横方向に圧縮（周期短縮）
• $0 < |B| < 1$：横方向に拡大（周期延長）
  例：

$$y = \sin(2x) \quad \Rightarrow \quad T = \pi \text{（元の周期 } 2\pi \text{ の } \frac{1}{2} \text{）}$$

$$y = \sin(\frac{1}{2}x) \quad \Rightarrow \quad T = \pi \text{（元の周期 } 2\pi \text{ の } 2 \text{ 倍）}$$

反射変換

1. $x$ 軸に関する反射
   表現：

   $$y = -\sin x \quad \Rightarrow \quad \text{すべての縦座標が反転}$$

$$ **例**：$$

\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \Rightarrow \quad -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1

2. **$y$ 軸に関する反射** 表現：

y = \sin(-x) \quad \Rightarrow \quad \text{等価 } \ -\sin x \ (\because \sin(-x) = -\sin x)

$$ **例**：$$

\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1

#### 複合変換例 **例関数**：

y = 3 \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1

 1. **振幅**：$3$ 2. **周期**：$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ 3. **位相移動**：$\frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$（右へ $\frac{\pi}{8}$ 移動） 4. **垂直移動**：上へ $1$ 単位 **最終効果**： - 始点が $(0,0)$ から $\left(\frac{\pi}{8},1\right)$ に変化 - 最大点：$\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4},4\right)$ - 最小点：$\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{4},-2\right)$