引数合成法とその証明

核心概念

引数合成法（別名 R法）は、次の形の

$$a\cos\alpha + b\sin\alpha$$

線形三角関数式を単一の三角関数形式に変換する方法です。その核心は、適切な振幅 $R$ と位相角 $\phi$ を構築することで、上記の式を次のように書くことができることです：

$$R\sin(\alpha + \phi) \quad\text{または}\quad R\cos(\alpha - \phi)。$$

ステップの導出

振幅の計算

振幅 $R$ の幾何学的意味はベクトル $(a, b)$ の長さであり、したがって

$$R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

例えば $\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha$ の場合：

$$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$

位相角の決定

目標形式（サインまたはコサイン）に応じて、$\phi$ の計算方法は若干異なり、象限判定 を組み合わせる必要があります：

• サイン形式：次のように置く

  $$a\cos\alpha + b\sin\alpha = R\sin(\alpha + \phi)$$

  加法定理で展開：

  $$R\sin(\alpha + \phi) = R[\sin\alpha\cos\phi + \cos\alpha\sin\phi]$$

  係数を比較すると：

  $$\begin{cases} R\cos\phi = b \\\\ R\sin\phi = a \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \cos\phi = \dfrac{b}{R} \\\\ \sin\phi = \dfrac{a}{R} \end{cases}$$

  したがって

  $$\phi = \arctan2\bigl(a,\,b\bigr)$$

• コサイン形式：次のように置く

  $$a\cos\alpha + b\sin\alpha = R\cos(\alpha - \phi)$$

  加法定理で展開：

  $$R\cos(\alpha - \phi) = R[\cos\alpha\cos\phi + \sin\alpha\sin\phi]$$

  係数を比較すると：

  $$\begin{cases} R\cos\phi = a \\\\ R\sin\phi = b \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \cos\phi = \dfrac{a}{R} \\\\ \sin\phi = \dfrac{b}{R} \end{cases}$$

  したがって

  $$\phi = \arctan2\bigl(b,\,a\bigr)$$

注意：符号を考慮せずに $\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ だけを使うと象限を誤る可能性があるので、$\arctan2$ または符号分析を使用すべきです。

正しさの証明

コサイン形式 を例として：

1. 定義

   $$R = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \cos\phi = \frac{a}{R}, \quad \sin\phi = \frac{b}{R}$$

2. 右辺を展開：

   $$R\cos(\alpha - \phi) = R\bigl[\cos\alpha\cos\phi + \sin\alpha\sin\phi\bigr] = R\cos\phi \cdot \cos\alpha + R\sin\phi \cdot \sin\alpha$$

3. 係数を比較：

   $$R\cos\phi = a, \quad R\sin\phi = b \quad \Longrightarrow \quad a\cos\alpha + b\sin\alpha$$

したがって元の式が成り立ちます。サイン形式も同様に証明できます。

具体的な例

例：$3\cos x - 4\sin x$ を単一の三角関数形式に変換します。

1. 振幅を計算：

   $$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

2. 位相角を決定（コサイン形式）：

   $$\cos\phi = \frac{3}{5}, \quad \sin\phi = -\frac{4}{5}$$

   位相角 $\phi$ は第4象限：

   $$\phi = -\,\arctan\left(\tfrac{4}{3}\right)$$

3. 合成結果：

   $$3\cos x - 4\sin x = 5\cos\left(x + \arctan\tfrac{4}{3}\right)$$

4. 検証：

   $$5\cos\left(x + \arctan\frac{4}{3}\right) = 5 \left[\cos x \cdot \frac{3}{5} - \sin x \cdot \frac{4}{5}\right] = 3\cos x - 4\sin x$$

注意事項

1. 象限判定
   位相角 $\phi$ は $a,b$ の符号に基づいて象限を決定する必要があります。

2. 形式の選択

   • 微分 が必要な場合はサイン形式を優先
   • 積分 が必要な場合はコサイン形式を優先

3. 周波数の一致
   同じ周波数の三角関数の重ね合わせにのみ適用可能。

4. 複素数との関連
   複素数の乗算 $a + bi = R e^{i\phi}$ に対応し、「回転＋拡大」変換を表します。

まとめ

引数合成法は、振幅 $R$ と位相角 $\phi$ を使って、$a\cos\alpha + b\sin\alpha$ を単一の三角関数に変換します：

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算
• 目標形式に応じて $\phi$ を決定
• 解析幾何学、信号解析などの分野に応用される