テイラー級数と高次導関数のライプニッツ則

本稿では、関数 $f(x) = x^2 \ln(1 - x)$ を例に、テイラー級数法 と ライプニッツの公式法 を用いて $f^{(n)}(0)$（$n \ge 3$）を計算し、両方法の等価性を分析する。

---

問題

$f(x) = x^2 \ln{(1 - x)}$ とするとき、$n \ge 3$ に対して $f^{(n)}(0) = \text{？}$ を求めよ。

テイラー級数法

核心的な考え方

関数をテイラー級数に展開し、べき級数の係数から高次導関数の値を直接読み取る。

具体的な手順

1. $\ln(1 - x)$ の展開
   $|x| < 1$ における $\ln(1 - x)$ のテイラー展開は：

   $$\ln(1 - x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}.$$

2. $f(x)$ の級数形式の構築
   $x^2$ を上記の級数に掛ける：

   $$f(x) = x^2 \cdot \left(-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}\right) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k+2}}{k}.$$

   変数変換 $m = k + 2$（すなわち $k = m - 2$）により、級数は次のように書き換えられる：

   $$f(x) = -\sum_{m=3}^{\infty} \frac{x^m}{m - 2}.$$

3. $x^n$ の項の係数の抽出
   $n \ge 3$ のとき、$x^n$ の項の係数は $a_n = -\frac{1}{n - 2}$ である。テイラーの公式より：

   $$f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n = -\frac{n!}{n - 2}.$$

検証例（$n = 3$）

$f^{(3)}(0)$ の計算：

$$f^{(3)}(0) = -\frac{3!}{3 - 2} = -6.$$

直接微分による検証：

$$f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} \left(x^2 \ln(1 - x)\right) \bigg|_{x=0} = -6.$$

---

ライプニッツの公式法

核心的な考え方

積関数の高次導関数の公式を利用する：

$$(f \cdot g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) \cdot g^{(n - k)}(x).$$

具体的な手順

1. 関数の分解
   $f(x) = x^2$、$g(x) = \ln(1 - x)$ とおく。

2. $f(x)$ の高次導関数の分析

   • $f^{(0)}(x) = x^2$、$x=0$ で $0$。
   • $f^{(1)}(x) = 2x$、$x=0$ で $0$。
   • $f^{(2)}(x) = 2$、$x=0$ で $2$。
   • $k \ge 3$ のとき、$f^{(k)}(x) = 0$。

3. $g(x)$ の高次導関数の計算
   $g^{(m)}(x) = -\frac{(m - 1)!}{(1 - x)^m}$、$x=0$ で：

   $$g^{(m)}(0) = -(m - 1)!.$$

4. ライプニッツの公式の適用
   $f^{(k)}(0)$ は $k=2$ のときのみ非零なので：

   $$f^{(n)}(0) = \binom{n}{2} \cdot f^{(2)}(0) \cdot g^{(n - 2)}(0).$$

   具体的な値を代入：

   $$f^{(n)}(0) = \frac{n(n - 1)}{2} \cdot 2 \cdot \left(-(n - 3)!\right) = -n(n - 1)(n - 3)!.$$

検証例（$n = 4$）

$f^{(4)}(0)$ の計算：

$$f^{(4)}(0) = -4 \cdot 3 \cdot (4 - 3)! = -12.$$

テイラー公式による検証：

$$-\frac{4!}{4 - 2} = -\frac{24}{2} = -12.$$

---

結果の統一性

両方法の結果は等価である：

$$-\frac{n!}{n - 2} = -n(n - 1)(n - 3)!.$$

証明：

$$\frac{n!}{n - 2} = \frac{n(n - 1)(n - 2)!}{n - 2} = n(n - 1)(n - 3)!.$$

---

Q&A

Q1：テイラー級数法において、変数変換 $m = k + 2$ を行った後、等式の両辺で $x$ のべき乗が等しいのはなぜか？

A：変換 $m = k + 2$ は総和のインデックスの付け方を変えただけであり、級数の数学的内容は変わらない。元の級数で $x^{k+2}$ のべき乗は $k+2$ で決まるが、変換後は直接 $x^m$ と書かれるため、$x$ のべき乗は一致する。

Q2：ライプニッツの公式において、なぜ $k=2$ の項のみが結果に寄与するのか？

A：$f(x) = x^2$ の高次導関数は $k \ge 3$ で零となり、$k=0,1$ では $f^{(k)}(0) = 0$ であるため、唯一の非零項は $k=2$ から来る。

Q3：テイラー級数法の収束範囲は結果に影響するか？

A：テイラー級数は $|x| < 1$ で収束するが、$f^{(n)}(0)$ の計算は $x=0$ における局所的な性質のみに依存するため、高次導関数の計算には展開式は有効である。

---

結論

$n \ge 3$ のとき、関数 $f(x) = x^2 \ln(1 - x)$ の $x=0$ における $n$ 次導関数は：

$$\boxed{f^{(n)}(0) = -\frac{n!}{n - 2}}.$$