幅角合成法及其证明

核心概念

幅角合成法（又称 R 方法）是一种将形如

的线性三角函数表达式转换为单一三角函数形式的方法。其核心思想是：通过构造合适的振幅和相位角，可将上述表达式写为

步骤推导

幅值计算

幅值的几何意义是向量的模长，故有

例如对于：

相位角确定

根据目标形式（正弦或余弦）不同，的计算方法略有差异，需结合 象限判断：

• 正弦形式：令
  
  利用和角公式展开：
  
  对比系数可得：
  
  因此
  

• 余弦形式：令
  
  利用和角公式展开：
  
  对比系数可得：
  
  因此
  

注意：若只用而不考虑符号，可能误判象限，应使用或符号分析。

正确性证明

以 余弦形式 为例：

1. 定义
   

2. 将右侧展开：
   

3. 对比系数：
   

因此原式成立。同理可证正弦形式。

具体示例

示例：将转换为单一三角函数形式。

1. 计算幅值：
   

2. 确定相位角（余弦形式）：
   
   相位角在第四象限：
   

3. 合成结果：
   

4. 验证：
   

注意事项

1. 象限判断
   相位角需根据的符号确定象限。

2. 形式选择

   • 若需 求导，优先选正弦形式
   • 若需 积分，优先选余弦形式

3. 频率一致性
   仅适用于 同频率 的三角函数叠加。

4. 复数联系
   对应复数乘法：，体现“旋转 + 缩放”变换。

总结

幅角合成法通过振幅和相位角将转换为单一三角函数：

• 计算
• 根据目标形式确定
• 应用于解析几何、信号分析等领域