对称型函数方程的倒代换解法

在求解某些同时含有和的函数方程时，直接求解往往困难。此时可采用“倒代换法”：将自变量替换为，得到新方程后与原方程联立消元，最终解出的显式形式。

原理与思路

设原方程为

其中为常数，为待求函数。将替换为，得到新方程：

联立两方程消去或，即可解出目标函数。

正确性证明

可逆性说明

1. 定义域限制：方程涉及，故仅当时有意义。
2. 双射变换：映射在非零实数域上是双射（一一对应且满射），保证替换前后方程数学等价。
   • 单射性：若，则。
   • 满射性：对任意，存在使。

线性系统结构

联立原方程与倒代换方程，得到线性方程组：

其系数矩阵

当时满秩，解唯一；若，需单独讨论解的相容性。

应用示例

考虑方程

步骤：

1. 倒代换：令，得
   
2. 联立消元：
   • 由原方程得.
   • 代入倒代换方程，化简后解得
     
3. 验证：将代入原方程与倒代换方程，均成立。

方程等价性分析

倒代换后的方程与原方程数学等价，原因如下：

1. 双射保证可逆性：的逆映射仍为自身，替换操作不改变解集。
2. 解集一致性：若满足原方程，则必满足倒代换方程，反之亦然。
3. 联立约束唯一性：联立方程组严格限定与的关系，排除额外解。

反例对比：若替换映射非双射（如），则可能引入矛盾或冗余解。