均值不等式证明与拓展

有下面常用的不等式链：

其中

证明

几何均值 ≤ 算术均值

证明：
平方两边

展开右边

整理后得到：

调和均值 ≤ 几何均值

证明：
化简左边调和均值为

平方两边得

整理得，两边除以后简化为：

移项后得到，显然成立。

算术均值 ≤ 平方均值

证明：
平方两边得

展开左边得

整理后得到：

最终简化为，显然成立。

拓展

适用范围：所有，且。

我们依然是分步证明四个均值之间的不等式关系。

几何均值 ≤ 算术均值（拓展）

证明：
使用数学归纳法。通过归纳法：

• 基例：当时，，由平方差可得。
• 归纳假设：假设对成立。
• 归纳步骤：将与几何平均合并，转化为元形式：
  
  对于右边：
  
  由 加权算术-几何平均不等式：
  
  那么：
  
  证毕。

调和均值 ≤ 几何均值（拓展）

证明：
不等式不等号两边同时开次方：

令：

由 算术-几何均值不等式 可知不等式成立，证毕。

算术均值 ≤ 平方均值（拓展）

证明：
两边平方后等价于：

由和的平方公式将右边展开：

将不等式两边同乘，得到：

左边减右边：

对任意，有基本不等式：

将所有的组合相加，左边得到（每个出现次），右边得到，从而原式成立。