基本替换公式当 时，有以下常用等价无穷小关系： 加减法替换规则加减运算中不可直接单独替换，但满足以下条件时可替换： 分子/分母整体代换时 高阶无穷小项可忽略时 示例： 原式 用泰勒展开 ，得极限值 乘除法替换规则乘除运算可直接替换： 特殊结构处理：对于复合指数形式 ，先取对数处理： 高阶无穷小替换当需要更高精度时，可使用泰勒展开： 应...
反函数是函数关系的逆映射，其实质是将原函数的输出值唯一对应回输入值。理解反函数的关键在于把握定义域与值域的对应关系。 定义设函数 满足： 单射性：若 ，则 满射性： 中每个元素都有原像 则存在唯一反函数 ，满足：且 求解方法求反函数的系统化流程： 确认可逆性：通过水平线测试验证单射性（就是看函数图像的 , 是否一一对应），必要时限制原函数定义域（如 限定 ） 建立方程：设 ...
函数奇偶性是分析函数对称性的重要工具，主要分为 偶函数 和 奇函数 两类。 定义偶函数满足 的函数，图像关于 轴对称。例如： 奇函数满足 的函数，图像关于 原点对称。例如： 唯一既是偶函数又是奇函数的函数是零函数 。 运算性质加减法规则 运算类型 结果性质 偶函数 + 偶函数 偶函数 奇函数 + 奇函数 奇函数 偶函数 ...
定义设有函数 在定义域 上有定义，若存在实数 ，使得对任意 都满足：则称 在 上为 有界函数。这个定义包含两个关键要素： 存在上界 和下界 对所有定义域内的自变量都成立 典型示例： 是全局有界函数（） 在 上有界（） 反例： 在 区间无界 常用性质加法：有界函数之和仍为有界函数 例： 仍满足 乘法：有界函数之积保持有界 例： 满足 除法：当分母不趋近零时...
要准确判断函数周期性需要系统分析函数结构并结合数学定义。我们首先从基础定义出发，再深入探讨复合函数情形，最后通过典型例题加深理解。 基本定义与判定方法函数 满足存在 非零实数 使得对于定义域内所有 都有：则称 为周期函数，最小的正周期称为 基本周期。 基本判定步骤： 观察函数类型：三角函数（如 、）、常数函数等具有明确周期性 验证定义关系式：通过解方程 寻找可能的周期 确定最小正...
数列的定义数列指按 确定顺序 排列的 无穷多个数 构成的集合，记作：或 项：数列中的每个数称为项（如为首项，为第n项） 通项公式：用关于n的表达式表示（如） 主要数列类型等差数列 定义：相邻项差恒为定值为公差 通项公式： 求和公式： 等比数列 定义：相邻项比值恒为定值为公比 通项公式： 求和公式： 常用解题方法错位相消法适用于 等差数列与等比数列乘积型求和，操作步骤： 写出原式 （...
三角函数标准形式对边斜边邻边斜边 基本特性正弦函数 周期： 对称性：奇函数 极值点： 零点： 余弦函数 周期： 对称性：偶函数 极值点： 零点： 正切函数 周期： 渐近线： 值域： 特殊点：过原点，周期中心对称 核心性质导数与积分 函数 导数 积分 重要恒等式毕达哥拉斯恒等： 和角公式： 函数对比分析 特性 正弦函数 余...
在求解某些同时含有 和 的函数方程时，直接求解往往困难。此时可采用“倒代换法”：将自变量 替换为 ，得到新方程后与原方程联立消元，最终解出 的显式形式。 原理与思路设原方程为其中 为常数， 为待求函数。将 替换为 ，得到新方程：联立两方程消去 或 ，即可解出目标函数。 正确性证明可逆性说明 定义域限制：方程涉及 ，故仅当 时有意义。 双射变换：映射 在非零实数域上是双射...
算术平均数最常见，也是最好理解一种平均数。 几何平均数几何平均数被称为“几何”源于其在几何学中的直观解释和应用场景。几何平均数定义为n个正数乘积的 n 次方根，例如两个数 a 和 b 的几何平均数为。这种命名与古希腊数学家通过几何图形理解平均数的历史密切相关。在 的情况下可以理解为计算某个矩形面积对应同面积的正方形的边长， 的时候可以理解为计算同体积的正方体的边长，再推广就是多维物体对应...
三角不等式是数学中的一个基础而重要的概念，最初来源于几何学中三角形的基本性质，后来被推广到向量、绝对值、度量空间等多个领域。其核心思想是“两点之间直线最短”，这一原理在不同数学对象中呈现出多种形式。 几何形式在平面几何中，三角不等式表现为 三角形任意两边之和大于第三边。对于三角形ABC，有：同时可推导出 两边之差小于第三边： 向量形式对于向量 和 ，其模长满足：几何解释：向量 构成三角形...
